1. -x > 0 ⇒ x < 0 ⇒ D(f) = (-∞; 0)
Պատ․ 3)

2. f(x) = x + ln(-x)
f′(x) = 1 + 1/x
f′(x) = 0 ⇒ 1/x + 1 = 0 ⇒ 1/x = -1 ⇒ x = -1
Պատ․ 2) -1

3. x < -1
f′(-2) = 1/2 ⇒ f′(x) > 0
-1 < x < 0
f′(-1/2) = -1 ⇒ f′(x) < 0

f′(x) ≥ 0 ⇒ x ∈ (-∞; -1]
Պատ․ 3) (-∞; -1]

4. f(-4) = ln4 – 4
f(-0,5) = ln0,5 – 0,5
f(-1) = -1
Պատ․ 4) -1

1. -x ≥ 0
x ≤ 0 ⇒ D(f) = (-∞; 0]
Պատ․ 4) (-∞; 0]

2. f(x) = x + (-x)^0,5
f′(x) = 1 + 0,5(-x)^-0,5
f′(x) = 0 ⇒ (-x)^-0,5 = -2 ⇒ -x = 1/4 ⇒ x = -1/4 
Պատ․ 1) -1/4

3. x < -1/4
f′(-1) = -0,5 ⇒ f′(x) < 0
-1/4 < x ≤ 0 
f′(-1/9) = 5/2 ⇒ f′(x) > 0

f′(x) ≥ 0 ⇒ x ∈ [-1/4; 0]
Պատ․ 2) [-1/4; 0]

4. f(-4) = √2 – 4
f(-1/9) = 2/9
f(-1/4) = 1/4
Պատ․ 2) 1/4

1. f(x) = x – 2√x
f(x) = 0 ⇒ √x(√x – 2) = 0 ⇒ x ∈ {0, 4}
Պատ․ 3) (0; 4)

2. f(x) = x – 2x^0,5
D(f) = [0; +∞)
f′(x) = 1 – x^-0,5 = 1 – 1/√x
f′(x) = 0 ⇒ 1 – 1/√x = 0 ⇒ 1/√x = 1 ⇒ x = 1

0 ≤ x < 1
f’(1/4) = -1 ⇒ f′(x) < 0
x > 1
f’(4) = 1/2 ⇒ f′(x) > 0

f′(x) ≥ 0 ⇒ x ∈ [0; 1] 
Պատ․ 2) [0; 1]

3. m = tan 135° = -1
f′(x) = -1
1 – 1/√x = -1 ⇒ 1/√x = 2 ⇒ √x = 1/2 ⇒ x = ±1/4
x ∈ [0; +∞) ⇒ x = 1/4
Պատ․ 4) 1/4

4. x → x + 3
y → y + 2
y = x – 2√x ⇒ y + 2 = x + 3 – 2√(x + 3) ⇒ y = x – 2√(x + 3) + 1
Պատ․ 3) y = x – 2√(x + 3) + 1

1. f(x) = x√(3 – x)
3 – x ≥ 0 ⇒ D(f) = (-∞; 3]
Պատ․ 4) (-∞; 3]

2. d(√(3-x))/dx = 1/2 · (3 – x)^-0,5 · d(3 – x)/dx = -1/2·(3 – x)^-0,5
dx/dx = 1
dy/dx = 1·√(3 – x) + x(-1/(2√(3 – x))) = √(3 – x) – x/(2√(3 – x)) = (6 – 2x – x)/(2√(3 – x)) = (6 – 3x)/(2√(3 – x))
Պատ․ 3) (6 – 3x)/(2√(3 – x))

3. D(f) = (-∞; 3]
f′(x) = 0 ⇒ 6 – 3x = 0 ⇒ x = 2
x < 2
f′(-1) = 9/4 ⇒ f′(x) > 0
2 < x ≤ 3
f′(2.75) = -9/16 ⇒ f′(x) < 0

f’(x) ≤ 0 ⇒ x ∈ [2; 3]
Պատ․ 1) [2; 3]

4. x = x√(3-x) ⇒ x = 0
√(3 – x) = 1
3 – x = 1
x = 2
2 հատման կետ
Պատ․ 2) 2

1. f(x) = x + 1/x
x ≠ 0 ⇒ D(f) = (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
Պատ․ 3) (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. f(x) = x + x^-1
f′(x) = 1 – x^-2
Պատ․ 4) 1 – 1/x²

3. f′(x) = 0 ⇒ 1 – 1/x² = 0 ⇒ 1/x² = 1 ⇒ x² = 1 ⇒ x = ±1
Պատ․ 2) -1 և 1

4. x < -1
f′(-2) = 3/4 ⇒ f′(x) > 0
-1 < x < 1
f′(1/2) = -3 ⇒ f′(x) < 0
x > 1 
f′(2) = 3/4 ⇒ f′(x) > 0

f′(x) ≥ 0 ⇒ x ∈ (-∞; -1] ∪ [1; +∞)
Պատ․ 2) (-∞; -1] ∪ [1; +∞)

Հանրահաշիվ

1. f(-5) = 2
Պատ․ 1) 2

2. y = 0 ⇒ x + 3 = 0 ⇒ x = -3
Պատ․ 3) -3

3. x > -3 ⇒ f′(x) = 1
Պատ․ 2) 1

4.
Պատ․ 4) [0; +∞)

1. f(x) = 4x + 36(x – 4)^-1
f′(x) = 4 – 36(x – 4)^-2 · (x – 4)′ = 4 – 36(x – 4)^-2 · 1 = 4 – 36(x – 4)^-2
Պատ․ 4) 4 – 36(x – 4)^-2

2. f′(x) = 0
4 = 36(x – 4)^-2
9^-1 = (x – 4)^-2
(x – 4)² = 9 ⇒ x – 4 = ±3
x₁ = 3 + 4 = 7
x₂ = -3 + 4 = 1
x ∈ {1, 7}
Պատ․ 4) 1; 7

3. x < 1 
f′(0) = 7/4 ⇒ f′(x) > 0

1 < x < 7 
f′(2) = -5 ⇒ f′(x) < 0

x > 7
f′(8) = 7/4 ⇒ f′(x) > 0
x – 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 4

f′(x) ≤ 0
x ∈ [1; 4) ∪ (4; 7]
Պատ․ 4) [1; 4) ∪ (4; 7]

4. f(1) = -8
f(2) = 8 – 18 = -10
Պատ․ 4) -8; -10

1. x³ ≠ 0 ⇒ x ≠ 0
x ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)
Պատ․ 4) (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

2. f(x) = x + 27x^-3
f′(x) = 1 – 81x^-4
Պատ․ 1) 1 – 81x^-4

3. f′(x) = 0
1 – 81x^-4 = 0
81x^-4 = 1
x⁴ = 81 ⇒ x = ±3
Պատ․ 2) -3 և 3

4. x < -3
f′(-4) = 175/256 ⇒ f′(x) > 0

-3 < x < 3
f′(1) = -80 ⇒ f′(x) < 0
x > 3
f′(4) = 175/256 ⇒ f′(x) > 0

f’(x) ≥ 0 ⇒ x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞)
Պատ․ 1 և 3

1. f(x) = x² + 2x^-1
f(x) = 0 ⇒ x² + 2x^-1 = 0 ⇒ x³ + 2 = 0 ⇒ x³ = -2 ⇒ x = -∛2
Պատ․ 3) (-∛2; 0)

2. f′(x) = 2x – 2x^-2
Պատ․ 3) 2x – 2x^-2

3. f′(x) = 0 ⇒ 2x – 2x^-2 = 0 ⇒ 2x³ – 2 = 0 ⇒ x³ = 1 ⇒ x = 1
Պատ․ 4) 1

4. x < 1
f′(-1) = -4 ⇒ f′(x) < 0

x > 1 
f′(2) = 3,5 ⇒ f′(x) > 0

f′(x) ≥ 0 ⇒ x ∈ [1; +∞)
Պատ․ 3)[1; +∞)

Երկրաչափություն

1. A = 1/2 · 5 · 8 · sin 60° = 20 · √3/2 = 10√3
Պատ․ 2) 10√3

2. BC² = AB² + AC² – 2·AB·AC·cos A 
BC² = 89 – 40 = 49
BC = 7
Պատ․ 1) 7

3. CD = AC · sin A = 8 · sin 60° = 4√3
Պատ․ 4) 4√3

4. r = 2A/a + b + c = 20√3/(5 + 8 + 7) = √3
Պատ․ 1) √3

1. f'(x) = x² – 2x – 3
f'(3) = 9 – 6 – 3 = 0
Պատ․ 3) 0

2. f'(x) = 0
x² – 2x – 3 = 0 ⇒ (x – 3)(x + 1 ) ⇒ x ∈ {-1, 3}
|3 – (-1)| = 4
Պատ․ 2) 4

3. f(0) = 1
f(2) = 8/3 – 4 – 6 + 1 = -19/3
Պատ․ 2) 1

4. f'(1) = 1 – 2 – 3 = -4
Պատ․ 1) -4

1. f'(x) = 3x² – 3
f’(0) = 0 – 3
Պատ․ 3) -3

2. f'(x) = 0
3x² – 3 = 0 ⇒ 3(x² – 1) = 0 ⇒ (x – 1)(x + 1) = 0 ⇒ x ∈ {-1, 1}
Պատ․ 2) 1

3. f'(1) = 3 – 3 = 0
y – y₀ = m(x – x₀) 
y – 4 = 0
y = 4
Պատ․ 4) y = 4

4. f(0) = 6
f(2) = 8
Պատ․ 3) 8

1.f'(x) = 4x³ – 24x² + 36x = 4x(x² – 6x + 9) = 4x(x – 3)²
f'(x) = 0 ⇒ 4x(x – 3)² = 0 ⇒ x ∈ {0, 3}

x < 0 
f'(-1) = -64 ⇒ f'(x) < 0
0 < x < 3
f'(1) = 16 ⇒ f'(x) > 0
x > 3
f'(4) = 16 ⇒ f'(x) > 0

f'(x) > 0 ⇒ x ∈ (0; 3) ∪ (3; +∞)
Պատ․ 2) (0; 3) ∪ (3; +∞)

2. f(x) ≥ 0 ⇒ x ∈ [0; +∞)
Պատ․ 1) [0; +∞)

3. f”(x) = 12x² – 48x + 36
f”(0) = 36
f”(3) = 0
Պատ․ 4) x_min = 0

4. f'(0) = 0
Պատ․ 1) 0°

1. f'(x) = 3x² – 2
f'(x) = 0
3x² = 2 ⇒ x² = 2/3 ⇒ x = ±(√2)/√3 ⇒ x = ±(√6)/3
Պատ․ 1) ±(√6)/3

2. f”(x) = 6x
f”(-(√6)/3) < 0
f”((√6)/3) > 0
Պատ․ 3) 2

3. x < -(√6)/3
f'(-1) = 1 ⇒ f'(x) > 0

-(√6)/3 < x < (√6)/3
f'(0) = -2 ⇒ f'(x) < 0

x > (√6)/3
f'(1) = 1 ⇒ f'(x) > 0
Պատ․ 1) [-(√6)/3; (√6)/3]

4. f(2) = 8 – 4 = 4
Պատ․ 4) 4

1. f'(x) = 4x³ – x²
Պատ․ 1) 4x³ – x²

2. f'(x) = 0 ⇒ 4x³ – x² = 0
x²(4x – 1) = 0 ⇒ x ∈ {0; 1/4}
Պատ․ 1) {0; 1/4}

3. x < 0
f'(-1) = -5 ⇒ f'(x) < 0

0 < x < 1/4
f'(1/5) = -1/125 ⇒ f'(x) < 0

x > 1/4
f'(1) = 3 ⇒ f'(x) > 0
Պատ․ 2) [1/4; +∞)

4. f(1) = 2/3
f(3) = 72
Պատ․ 3) 72 և 2/3

1.f'(x) = x² – x – 2 = (x – 2)(x + 1)
f'(x) = 0 ⇒ (x – 2)(x + 1) = 0 ⇒ x ∈ {-1; 2}
Պատ․ 2) -1 և 2

2.x < -1
f'(-2) = 4 ⇒ f'(x) > 0

-1 < x < 2
f’(0) = -2 ⇒ f’(x) < 0

x > 2
f’(3) = 4 ⇒ f’(x) > 0
Պատ․ 3) [-1; 2]

3. f”(x) = 2x – 1
f”(-1) = -3 ⇒ f”(x) < 0
f”(2) = 3 ⇒ f”(x) > 0
Պատ․ 4) 2

4. m = tan 135° = -1
f’(x) = -1 ⇒ x² – x – 2 = -1 ⇒ x² – x – 1
D = b² – 4ac = 1 + 4 = 5
x = (-b ± √D)/2a = (1 ± √5)/2
Պատ․ 2) (1 ± √5)/2

1. g'(x) = 3x² – 12x + 9
Պատ․ 1) 3x² – 12x + 9

2. g'(x) = 3(x² – 4x + 3) = 3(x – 3)(x – 1)
g'(x) = 0 ⇒ 3(x – 3)(x – 1) = 0 ⇒ x ∈ {1; 3}
Պատ․ 4) 1 և 3

3. g(1) = 5
g(2) = 3
g(4) = 5
g(0) = 1
Պատ․ 4) (0; 1)

g”(x) = 6x – 12
g”(1) = -6 ⇒ g”(1) < 0
g”(3) = 6 ⇒ g”(3) > 0
Պատ․ 1) 3

Հանրահաշիվ

1. f'(x) = 2x – 1
f'(2) = 4 – 1 = 3
Պատ․ 2) 3

2. f(-1) = 1 + 1 = 2
Պատ․ 4) 2

3. -b/2a = -(-1)/2 = 1/2
f(1/2) = 1/4 – 1/2 = -1/4
Պատ․ 1) -1/4

4. f’(x) = 2x – 1
f'(x) = 0 ⇒ 2x – 1 = 0 ⇒ x = 1/2
Պատ․ 2) 1/2

1. Պատ․ (-∞; +∞)

2. f(x) = x² + 3x – 4 
f’(x) = 2x + 3
Պատ․ 2) 2x + 3

3. f'(x) = 2x + 3
f'(x) = 0 ⇒ 2x + 3 = 0 ⇒ x = -3/2
Պատ․ -3/2

4. f'(x) = 2x + 3
f’(x) ≥ 0 ⇒ 2x + 3 ≥ 0 ⇒ x ≥ -3/2
Պատ․ 3) [-3/2; +∞)

1.
Պատ․ (5; +∞)

2. f(x) = x² – 4x + 3
f’(x) = 2x – 4
f’(x) = 0 ⇒ 2x – 4 = 0 ⇒ x = 2
Պատ․ 2) 2

3. f(2) = 4 – 8 + 3 = -1
Պատ․ 3) -1

4. f(2) = -1
f'(2) = 0
y – y₀ = m(x-x₀)
y + 1 = 0(x – 2)
y + 1 = 0
y = -1
Պատ․ 4) y = -1

1. f(x) = x³ – 3x² – 9x + 8
f’(x) = 3x² – 6x – 9
Պատ․ 2) 3x² – 6x – 9

2. f’(x) = 0 ⇒ 3x² – 6x – 9 = 0
3(x² – 2x – 3) = 0 
3(x – 3)(x + 1) = 0 ⇒ x ∈ {-1; 3}
Պատ․ 3) {-1; 3}

3. f’(x) ≤ 0 ⇒ 3x² – 6x – 9 ≤ 0
3(x – 3)(x + 1) ≤ 0
x ∈ [-1; 3]
Պատ․ 4) [-1; 3]

4. f”(x) = 6x – 6
f”(-1) = -12
f”(3) = 12
f”(3) > 0 հետևաբար մինիմումը 3-ում է։
Պատ․ 3) 3

Երկրաչափություն

1. <BAM = <MAD
BC || AD ∴ <MAD = <BMA
<BMA = <MAB ∴ AB = BM = 5
Պատ․ 1) 5

2. MC = DC = 5 ∴ <CDM = <CMD
BC || AD ∴ <CMD = <ADM
<MDC = <ADM = 1/2*<ADC

<ABM = <ADC
<ABM + 2*<BAM = 180°
<BAM + 1/2*<ABM = <MAD + 1/2*<ADC = <MAD + <ADM = 90°
<AMD = 180° – <MAD – <ADM = 180° – 90° = 90°
Պատ․ 4) 90

3. Ուղղանկյան եռանկյան արտագծած շրջանագծի կենտրոնը ներքնագծի միջնակետն է։
AO = OD = 5
BM = OD = 5 և AD || BC
<CDM = <AOB
AM || OC ∴ <AMB = <DOC
<BOC = 180° – <DOC – <AOB = 180° – <DMC – <AMB = <AMD = 90°
Պատ․ 4) 90°

4. r = 1/2 * AD = 1/2 * 10 = 5
Պատ․ 2) 5

1. <CAB = <ACB = 45°
AM = AC և AB = BC ⇒ <ABM = <MBC = 45°
<MAB = <ABM = <MBC = <MCB ∴ AM = MB = MC = 6
AC = AM + MC = 6 + 6 = 12
Պատ․ 3) 12

2. AB² = AM² + MB² = 36 + 36 = 72
AB = √72 = 6√2
Պատ․ 4) 6√2

3. r = 2A/(a + b + c)
A = bh/2 = 6*12/2 = 36
r = 2*36/(12 + 6√2 + 6√2)= 6/(1+√2) = 6/(1+√2) * (1-√2)/(1-√2) = (6 – 6√2)/(1-2) = -1*(6 – 6√2) = 6√2 – 6
Պատ․ 4) 6√2 – 6

4. A = bh/2 = 6*12/2 = 36
Պատ․ 2)

1. <AOC = 60°
<BOC = 120° – 60° = 60°
AO = CO ⇒ <OAC = <OCA = (180°-60°)/2 = 60°
CO = BO ⇒ <BCO = <OBC = (180°-60°)/2 = 60°
<ACB = <ACO + <BCO = 120°
AC = AB ⇒ <CBA = <ABC = (180°-120°)/2 = 60°/2 = 30°
Պատ․ 1) 30°

2. <AOC = <CAO = <ACO = 60° ⇒ AC = OA = 12
Պատ․ 1) 12

3. <ACB = <ACO + <BCO = 60° + 60° = 120°
Պատ․ 4) 120′

4. <BOC = <OBC = <OCB = 60° ⇒ BC = OC = 12
Պատ․ 3) 12

Արտագաղթը (Էմիգրացիա) և ներգաղթը (իմիգրացիա) կարող են տեղի ունենալ բազմաթիվ պատճառներով, սակայն հիմնական պատճառներից մեկը աշխատանքային և կրթական հնարավորություններն են։

Երրորդ աշխարհի և զարգացող այլ երկրներից շատ հաճախ աշակերտները գնում են Եվրոպա և Հյուսիսային Ամերիկա ուսանելու, որովհետև լավագույն համալսարանների մեծ մասը այդ երկրներում են գտնվում։ Դա շատ կարևոր է աղքատ երկրներից աշակերտների համար, որովհետև բացի ուսումից, այդ երկրներում նաև ավելի լավ են աշխատանքային հնարավորությունները և բնակչության կենսամակարդակը։ Շատ հաճախ մարդիկ տարիներով ապրում են ավելի հարուստ երկրներում և աշխատում, որ փող ուղարկեն իրենց ընտանիքներին։

Նման ներգաղթը նաև կարող է օգտակար լինել հարուստ երկրների համար: Իմիգրացիայի շնորհիվ աշխատուժը մեծանում է և հետևաբար աճում է երկրի տնտեսության արտադրողական հնարավորությունը: Դա մեծամասնությամբ կախված է միգրանտների հմտություններից և կրթության մակարդակներից, ինչը կարող է երկրների տնտեսությունը զարգացնել և առևտուրը խթանել։ 

Աշխատանքի նպատակով արտագաղթը նաև սոցիալ առումով մեծ խնդիր է առաջացնում։ Շատ հաճախ գործատուները միգրանտներին շահագործում են և շատ ցածր աշխատավարձ տալիս։ Միգրանտները այս պայմաններին համաձայնվում են, որովհետև այս պայմանները այնուամենայնիվ ավելի լավ են իրենց երկրների աշխատանքային պայմաններից։

Էմիգրացիան նաև տեղի է ունենում պատերազմների ժամանակ, երբ ապագա միգրանտների կյանքը վտանգվում է։ Նաև այն դեպքերում, երբ մարդիկ իրենց երկրներում հանդիպում են հետապնդման և հասարակական ճնշման։ Էմիգրացիայի փոխարեն այս սովորաբար կոչվում է փախստականություն։ Փախստականությունը շատ նշանակալի և հակասական խնդիր է երկիրների համար։ 

Աջակիցները պնդում եբ, որ երկրները բարոյական և մարդասիրական պարտավորություն ունեն փախստականներին օգնելու, որովհետև սա հնարավորությունն է տալիս վերսկսել իրենց կյանքը, իսկ փախստականները աշխատուժը մեծացնում են և հարստացնում են երկրի մշակույթը։ Մյուս կողմից, քննադատիչները պնդում են, որ այս պարտավորությունները իրենց սահմանները ունեն և պետք է հաշվի առնել փախստականներին օգնելու պրակտիկ ծախսերը։ Փախստականները կարող են շատ թանկ նստել պետությունների վրա և հանրային ծառայությունները կարող են ծանրաբեռնել։ Ընդհանուր առմամբ, պետությունները պետք է համաչափություն ունենան բարոյականության և ռեսուրսների պահպանման միջև։

Իմիգրացիայի ամենավիճելի խնդիրներից մեկը բխում է մշակույթի հարցից։ Աջակիցները պնդում են, որ միգրանտները լավ են երկրների համար և իրենց մշակութային տարբերությունները կարող են լավ լինել երկրի մշակույթի համար։ Երկրներ կան, որոնց մշակույթը բազմաթիվ մշակույթների միացումն է։ Այս երկրներից ամենամեծը Ամերիկայի Միացյալ Նահանգներն են։ Մյուս կողմից, քննադատները ասում են, որ նման մշակութային տարբերությունները վատ են երկրի համար և եթե միգրանտները չեն կարող հարմարվել երկրի մշակույթին, պետք է նրանց չընդունել։ Այս փաստարկը շատ հաճախ գալիս է երկրներից, որոնց մշակույթը խիստ առանձնանում է և ինտեգրված է երկրի տնտեսությանը, օրինակ՝ Ճապոնիան։ Աջակիցների կարծիքով, այս անհանգստությունը բխում է ոչ թե մշակութի պահպանումից, այլ ռասիզմից։

Ընդհանրապես, խնդիրը բարդ է և երկու կողմի տեսակետների մեջ ճշմարտության կա։ Միանշանակ ճիշտ պատասխան չկա և ամեն երկրի համար «ճիշտ» մոտեցումը տարբերվում է։

Աղբյուրներ․
Իմիգրացիա – Britannica
Միգրանտ աշխատողները – ILO.org
Միգրացիայի տնտեսական հետևանքները – OECD
No Refuge: Ethics and the Global Refugee Crisis – Serena Parekh

ա) f′(x) = 2x + 5

բ) f′(x) = 3 – 2x

գ) f′(x) = 4x³ + 6x – 2

դ) f′(x) = 9 – 5x⁴ + 3x²

ա) f(x) = 4x^0,5 – x³
f′(x) = 2x^-0,5 – 3x²

բ) f(x) = 5x^-1 – x^0,5
f′(x) = -5x^-2 – 0,5x^-0,5

գ) f(x) = x – x^-1
f′(x) = 1 + x^-2

դ) f(x) = 2x + x^0,5 – 2x^-1
f′(x) = 2 + 0,5x^-0,5 + 2x^-2

ա) f(x) = √x(x³ – 2x²) = x^3,5 – 2x^2,5
f′(x) = 3,5x^2,5 – 5x^1,5

բ) f(x) = x^-1(2 + 3x – x³) = 2x^-1 + 3 – x²
f′(x) = -2x^-2 – 2x

գ) f(x) = x^-1(3 – x^0,5) = 3x^-1 – x^-0,5
f′(x) = -3x^-2 + 0,5x^-1,5

դ) f(x) = (2x – 1)(x^0,5 – 1) = 2x^1,5 – 2x – x^0,5 + 1
f′(x) = 3x^0,5 – 2 – 0,5x^0,5

f(x) = 2x² – 1
f′(x) = 4x

ա) f′(2) = 8

բ) f′(-3,75) = 7,5

գ) f′(0,25) = 0,5

f(x) = x³
f′(x) = 3x²

ա) f′(1) = 3

բ) f′(-4) = 48

գ) f′(3) = 27

f(x) = 1/(x + 3) = (x + 3)^-1
f′(x) = -1 · (x + 3)^-2 · d(x + 3)/dx = -1/(x + 3)²

ա) f′(-4) = -1

բ) f′(0) = -1/9

գ) f′(2) = -1/25

f(x) = √(x – 4) = (x – 4)^0,5
f′(x) = 0,5 · (x – 4)^-0,5 · d(x – 4)/dx = 0,5(x – 4)^-0,5 = 0,5/√(x – 4)

ա) f′(5) = 1/2

բ) f′(0) = √2/4

գ) f′(8) = 1/4

f(x) = 5
f′(x) = 0

ա) f′(2) = 0

բ) f′(-500) = 0

գ) f′(12) = 0

f(x) = 3x – 2
f′(x) = 3

ա) f′(3) = 9

բ) f′(-8) = -24

գ) f′(21,6) = 64,8

f(x) = x²
f′(x) = 2x

ա) f′(7,5) = 15

բ) f′(-9,25) = -18,5

գ) f′(32,5) = 65

f(x) = 1/x = x^-1
f′(x) = -x^-2 = -1/x²

ա) f′(0,5) = -4

բ) f′(-1) = -1

գ) f′(3) = -1/9

f(x) = √x = x^0,5
f′(x) = 0,5x^-0,5 = 0,5/√x

ա) f′(0,25) = 1

բ) f′(6,25) = 1/5

գ) f′(12,25) = 1/7

Հանրահաշիվ

ա) f(x) = x + sin x
f(x)-ը x և sin x տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար f(x)-ը տարրական է։
D(f) = (-∞; +∞)

բ) f(x) = (cos (x – 1))/sin x
f(x) ֆունկցիան cos x և x – 1 տարրական ֆունկցիաների համադրույթի և sin x տարրական ֆունկցիայի քանորդն է:
sin x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 + πk ⇒ D (f) = ℝ \ 0 + πk

գ) f(x) = ln(x + 1) – 1/x = ln (x + 1) – x^-1
f(x) ֆունկցիան ln x և x + 1 տարրական ֆունկցիաների համադրույթի և x^-1 տարրական ֆունկցիայի տարբերությունն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։x + 1 > 0 ⇒ x > -1
x ≠ 0 ⇒ D(f) = (−1; 0) ∪ (0; +∞)

դ) f(x) = arccos(x + 2)
f(x) ֆունկցիան arccos x և x + 2 տարրական ֆունկցիաների համադրույթն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
-1 ≤ x + 2 ≤ 1
-3 ≤ x ≤ –1 ⇒ D(f) = [-3; -1]

ա) f(x) = sin((x + 1)/(x – 1)) + ln x
sin((x + 1)/(x – 1)) ֆունկցիան x + 1 և x – 1 տարրական ֆունկցիաների քանորդի և sin x տարրական ֆունկցիայի համադրույթն է, հետևաբար sin((x + 1)/(x – 1)) ֆունկցիան տարրական է։
f(x) ֆունկցիան sin((x + 1)/(x – 1)) և ln x տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
x > 0, x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
D(f) = (0; 1) ∪ (1; +∞)

բ) f(x) = e^{x + 5} + (cos(arcsin x))/x
e^{x + 5} ֆունկցիան e^x և x + 5 տարրական ֆունկցիաների համադրույթն է, հետևաբանար e^{x + 5} ֆունկցիան տարրական է։
(cos(arcsin x))/x ֆունկցիան cos x և arcsin x տարրական ֆունկցիաների համադրույթի և x տարրական ֆունկցիայի քանորդն է, հետևաբար (cos(arcsin x))/x ֆունկցիան տարրական է։
f(x) ֆունկցիան e^{x + 5} և (cos(arcsin x))/x տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
arcsin x ⇒ x ∈ [-1; 1]
x ≠ 0 ⇒ D(f) = (-1; 0) ∪ (0; 1)

գ) f(x) = log_x(x + 1)
f(x) ֆունկցիան կազմված է log_x և x + 1 տարրական ֆունկցիաների համադրույթից, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
log_x ⇒ x > 0, x ≠ 1
D(f) = (0; 1) ∪ (1; +∞)

դ) f(x) = tg ln x
f(x) ֆունկցիան tg x և ln x տարրական ֆունկցիաների համադրույթն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
x > 0, x ≠ 1 ⇒ D(f) = (0; 1) ∪ (1; +∞)

ա) $x^3 + 5x^2 – 7 = 0, [1;2]$
x = 1 ⇒ $x^3 + 5x^2 – 7 = -1$
x = 2 ⇒ $x^3 + 5x^2 – 7 = 21$
D(f) = ℝ ⇒ [1; 2] միջակայքում $x^3 + 5x^2 – 7$ ֆունկցիան անընդհատ է։
$-1<0$ և $21 >0$ ⇒ [1; 2] միջակայքում գոնե մի հատ արմատ կա։

բ) $x^4 + 6x^3 – 1= 0, [0; 1]$
x = 0 ⇒ $x^4 + 6x^3 – 1= -1$
x = 1 ⇒ $x^4 + 6x^3 – 1 = 6$
D(f) = ℝ ⇒ [0; 1] միջակայքում $x^4 + 6x^3 – 1$ ֆունկցիան անընդհատ է։
$-1<0$ և $6 >0$ ⇒ [0; 1] միջակայքում գոնե մի հատ արմատ կա։

գ) $2 cos x – x = 0, [0;\frac{\pi}{2}]$
x = 0 ⇒ $2cosx – x = 2$
x = $\frac{\pi}{2}$ ⇒ $2cosx – x = -\frac{\pi}{2}$
D(f) = ℝ ⇒ $[0;\frac{\pi}{2}]$ միջակայքում $2cosx – x$ ֆունկցիան անընդհատ է։
$2 >0$ և $-\frac{\pi}{2} < 0$ ⇒ $[0;\frac{\pi}{2}]$ միջակայքում գոնե մի հատ արմատ կա։

դ) $ln(x +5)-5x = 0, [-4; 4]$
x = -4 ⇒ $ln(x +5)-5x = 20$
x = 4 ⇒ $ln(x +5)-5x = ln13 – 20$
x + 5 > 0 ⇒ x > -5
D(f) = (-5; +∞) ⇒ $[-4; 4]$ միջակայքում $ln(x +5)-5x$ ֆունկցիան անընդհատ է։
$20 >0$ և $ln13-20< 0$ ⇒ $[-4; 4]$ միջակայքում գոնե մի հատ արմատ կա։

Երկրաչափություն

1. 48/6 = 8 սմ
Պատ․ 3) 8 սմ

2. <ABC = 180° – 360°/6 = 180° – 60° = 120°
AC = √(AB² + BC² – 2·AB·BC·cos 120°) = √(192) = 8√3 սմ
Պատ․ 1) 8√3 սմ

3. <MOA = 360°/12 = 30°
AM = 4
tan <MOA = AM/OM ⇒ r = OM = 4/(√3/3) = 4√3 սմ
Պատ․ 2) 4√3 սմ

4. S_OMA = bh/2 = 4·4√3/2 = 8√3
S_ABCDEF = 12 · S_OMA = 96√3 սմ
Պատ․ 2) 96√3 սմ

1. 180° · (n – 2) = 720°
n – 2 = 4
n = 6
Պատ․ 2) 6

2. AM = AF/2 = 6/2 = 3 սմ
<MOA = <MOA = 360°/12 = 30°
OA = AM/sin <MOA = 3/sin 30° = 3/0,5 = 6 սմ
Պատ․ 3) 6 սմ

3. <MOA = <MOA = 360°/12 = 30°
AM = AF/2 = 6/2 = 3 սմ
tan <MOA = AM/OM ⇒ r = OM = 3/(√3/3) = 3√3 սմ
Պատ․ 4) 3√3 սմ

4. S_OMA = bh/2 = 3·3√3/2 = 9/2 · √3
S_ABCDEF = 2 · 6 · S_OMA = 54√3 սմ
Պատ․ 3) 54√3 սմ

1. AB-ն շրջանագծ տրամագիծն է և C-ն գտնվում էր շրջանագծի վրա, հետևաբար <ACB = 90°
Պատ․ 4) 90°

2. r = AB/2 = 10/2 = 5 սմ
AO = OC = AC = 5սմ ⇒ <AOC = 60°
<BOC + <AOC = 180° ⇒ <BOC = 180° – 60° = 120°
Պատ․ 3) 120°

3. C = 2πr = 10π սմ
Պատ․ 2) 10π սմ

4. <AOC = 60°
CM ⊥ AB
sin <AOC = CM/OC ⇒ CM = OC · sin 60° = 5 · √3/2 = 2,5√3 սմ
Պատ․ 4) 2,5√3 սմ