1831-1836 թթ Չ․ Դարվինը մեկնեց շուրջերկրյա ճամփորդության, ուսումնասիրելով իր այցելած երկրների կենդանական և բուսական աշխարհը։ Գալապագոս կղզիները այցելելու ընթացքում Դարվինը հանդիպեց այնպիսի կենդանիներ, որոնք այլ տեղերում չէին հանդիպում, բայց մոտիկ էին հարավամերիկյան տեսակներին։

Դարվինը նկատեց, որ այդ կղզիներից յուրաքանչյուրի սերինոսների իրարից խիստ տարբերվում են սնման բնույթով, կտուցի ձևով։ Պարզվեց, որ տարբեր կղզիների սերինոսները նաև տարբերվում էին գլխավոր սնունդով։ Դարվինը եզրակացության եկավ, որ կենդանիներն ունեն մայրցամաքային ծագում, և միջավայրի պայմաններին հանդիպելով հարմարվեցին և փոփոխվեցին։ Դարվինը համոզված էր, որ ապրելատեղի պայմանների ազդեցությամբ օրգանիզմները օգտակար հատկանիշներ են ստանում, որոնք նպաստում են նոր տեսակների ծագումը։

Դարվինը նկատեց, որ մարդիկ արհեստական ընտրության միջոցով հատուկ բույսերի և կենդանիների տեսակներ են սարքել, մարդկանց նպատակների ծառայեցնելու համար։ Վայրի կենդանիներ էվոլուցյան վերաբերյալ հարցերին Դարվինը բացահայտեց իր ≪Տեսակների ծագումը բնական ընտրության միջոցով կամ հարմարված ձևերի պահպանումը≫ աշխատությունում։ Ըստ Դարվինի գոյության կռիվը և ժառանգական փոփոխականությունը բնական ընտրության հիմնական շարժիչ ուժերն են։ Դարվինը գտնում եր, որ բոլոր օրգանիզմեր օժտված են փոփոխվելու հատկությամբ։ Նա տարբերում էր փոփոխականության երկու հիմնական ձև՝ ոչ ժառանգական (որոշակի կամ խմբակային), և ժառանգական (անորոշ կամ անհատական)։

Ոչ ժառանգական փոփոխականությունը կախված չէ գենոտիպի փոփոխման հետ։ Այն կոչվեց “որոշակի” որովհետև փոփոխականության պատճառը հայտնի է։ Այն կախված է միջավայրից, և եթե այլ միջավայրում կենդանիները կամ բույսերը տեղապոխվեն գոյության նախկին պայմանների մեջ, ապա նախկին հատկանիշները կվերականգնվեն։ Այս փոփոխականության ձևը կոչվում է մոդիֆիկացիոն։

Նաև գոյություն մի այլ փոփոխականության ձև, որը կոչվում է “անորոշ” ժառանգական փոփոխականություն։ Դարվինը նկատեց, որ “անորոշ” փոփոխականությունը փոխանցվում է հաջորդ սերնդին և ունենում է ժառանգական բնույթ։ Նա նաև բացահայտեց, որ միևնույն տեսակի առանձնյակներ տարբերվում են չնչին առանձնահատկություններով, որի պատժառը յուրաքանչյուր առանձնյակի վրա գոյության պայմանների վրա անորոշ ներգործությունն է։ Դարվինը ուշադրություն դարձրեց փոփոխականության այս ձևին և գտավ, որ այն ելանյութ է տեսակառաջացման համար։ Այս փոփոխականության ձևը կոչվում է մուտացիոն, և պայմանավորված է գեների փոփոխությամբ։

299.

0² + 1² = 1
(1/2)² + (√3/2)² = 1/4 + 3/4 = 1
(√2/2)² + (√2/2)² = 2/4 + 2/4 = 1
(-√3/2)² + (1/2)² = 3/4 + 1/4 = 1
1² + 0² = 1
(-1)² + 0² = 1

sin ∠AOM₁ = sin 90° = 1
cos ∠AOM₁ = cos 90° = 0
tg ∠AOM₁ = tg 90° (որոշված չէ)

sin ∠AOM₂ = y/1 = √3/2

cos ∠AOM₂ = x/1 = 0,5
tg ∠AOM2 = y/x (√3/2)/(1/2) = √3

sin ∠AOM3 = y/1 = √2/2
cos ∠AOM3 = x/1 = √2/2
tg ∠AOM3 = y/x = 1

sin ∠AOB = sin 180° = 0
cos ∠AOB = cos 180° = 1
tg <AOB = tg 180° = 0

---

300-ա,գ.

ա) cosα = 1/2

sin²α + cos²α = 1
sin²α + (1/2)² = 1
sin²α + 1/4 = 1
sin²α = 3/4
sinα = √3/2

գ) cosα = -1

sin²α + cos²a = 1
sin²α + (-1)² = 1
sin²α + 1 = 1
sin²α = 0
sinα = 0

---

301-ա,գ.

ա) sinα = √3/2

sin²α + cos²α = 1
(√3/2)² + cos²α = 1
3/4 + cos²α = 1
cos²α = 1/4
cosα = 1/2

գ) sinα = 0

sin²α + cos²α = 1
cos²α = 1
cosα = 1

---

302-ա,գ.

ա) cosα = 1

cos²α + sin²α = 1
1 + sin²α = 1
sin²a = 0
sinα = 0

tgα = sinα/cosα
tgα = 0/1 = 0

գ) sinα = √2/2

sin²α + cos²α = 1
(√2/2)² + cos²α = 1
2/4 + cos²α = 1
cos²α = 2/4
cosα = √2/2

tgα = sinα/cosα
tgα = (√2/2)/(√2/2) = 1

---

ՏՆԱՅԻՆ․

---

298.

ա)

-1 ≤ 0,3 ≤ 1
-1 ≤ ¹/₃ ≤ 1
-1 ≤ –¹/₃ ≤ 1
1 ²/₃ > 1
-2,8 < -1

Պատ․ միավոր կիսաշրջանի կետի աբսցիսը կարող է ունենալ 0,3, ¹/₃ և –¹/₃ արժեքները։

գ)

0 ≤ 0,6 ≤ 1
0 ≤ ¹/₇ ≤ 1
-0,3 < 0
7 > 1
1,002 > 1

Պատ․ միավոր կիսաշրջանագծի կետի աբսցիսը կարող է ունենալ 0,6 և ¹/₇արժեքները։

---

300-բ.

բ) cos α = –³/₅

sin²α + cos²α = 1
sin²α + (-³/₅)² = 1
sin²α + ⁹/₂₅ = 1
sin²α = ¹⁶/₂₅
sinα = ⁴/₅

---

301-բ.

բ) sinα = ¹/₄

sin²α + cos²α = 1
cos²α + (¹/₄)² = 1
cos²α + ¹/₁₆ = 1
cos²α = ¹⁵/₁₆
cosα = ^√15/₄

---

302-բ.

բ) cosα = –^√3/₂

sin²α + cos²α = 1
sin²α + (-^√3/₂)² = 1
sin²α + ³/₄ = 1
sin²α = ¹/₄
sinα = ¹/₂

դ) sin α = ³/₅, 90° < α < 180°

sin²α + cos²α = 1
(³/₅)² + cos²α = 1
⁹/₂₅ + cos²α = 1
cos²α = ¹⁶/₂₅
cos α = ±⁴/₅
90° < α < 180°
cos α < 0
cos α = –⁴/₅

tg α = sin α/cos α
tg α = (³/₅)/(-⁴/₅) = –³/₄

---

303.

sin α = sin(180° – α)
cos α = -cos(180° – α)
tg α = -tg(180° – α)

sin 120° = sin(180° – 120°) = sin 60° = ^√3/₂
cos 120° = -cos(180° – 120°) = -cos 60° = -0,5
tg 120° = -tg(180° – 120°) = -tg 60° = -√2

sin 135° = sin(180° – 135°) = sin 45° = ^√2/₂
cos 135° = -cos(180° – 135°) = -cos 45° = –^√2/₂
tg 135° = -tg(180° – 135°) = -tg 45° = -1

sin 150° = sin(180° – 150°) = sin 30° = 0,5
cos 150° = -cos(180° – 150°) = -cos 30° = –^√3/₂
tg 150° = -tg(180° – 150°) = -tg 30° = –^√3/₃

316-ա.

ա)

x₁ = 2
x₂ = 4
x₃ = 6
x₄ = 8
x₅ = 10
x₆ = 12

---

317-ա,գ.

ա)

x_n = n

գ)

x_n = 4n

---

318-ա.

ա)

a_n = 3n – 1
a₁ = 3 – 1 = 2
a₂ = 3 * 2 – 1 = 6 – 1 = 5
a₅ = 3 * 5 – 1 = 15 – 1 = 14
a₁₀₀ = 3 * 100 – 1 = 300 – 1 = 299

---

321-ա,գ.

ա)

a_n = 3n + 2
a₁ = 3 + 2
a₂ = 3 * 2 + 2 = 6 + 2 = 8
a₃ = 3 * 3 + 2 = 9 + 2 = 11
a₁₀ = 3 * 10 + 2 = 30 + 2 = 32

գ)

cⁿ = (-2)ⁿ
c¹ = (-2)¹ = -2
c² = (-2)² = 4
c³ = (-2)³ = -8
c¹⁰ = (-2)¹⁰ = 1024

---

323-ա,գ.

ա)

a₁ = 2, a_{n + 1} = a_n + 3
a₂ = a₁ + 3 = 2 + 3 = 5
a₃ = a₂ + 3 = 5 + 3 = 8
a₄ = a₃ + 3 = 8 + 3 = 11
a₅ = a₄ + 3 = 11 + 3 = 14

գ)

c₁ = 4, c_{n + 1} = c_n – 8
c₂ = c₁ – 8 = 4 – 8 = -4
c₃ = c₂ – 8 = -4 – 8 = -12
c₄ = c₃ – 8 = -12 – 8 = -20
c₅ = c₄ – 8 = -20 – 8 = -28

---

ՏՆԱՅԻՆ․

---

316-բ.

բ)

x_n = 2n
x₇ = 2 * 7 = 14
x₈ = 2 * 8 = 16
x₂₀ = 2 * 20 = 40

---

317-բ,դ.

բ)

x_n = 2n – 1

դ)

x_n = 1/n

---

318-բ.

բ)

a_n = 3 + 2(n – 1)
a₁ = 3 + 2 * 0 = 3
a₂ = 3 + 2 * 1 = 5
a₁₂ = 3 + 2 * 11 = 3 + 22 = 25
a₃₀ = 3 + 2 * 29 = 3 + 58 = 61

---

321-բ.

բ)

b_n = 16 * (½)n
b₁ = 16 * ½ = 8
b₂ = 16 * ¼ = 4
b₃ = 16 * ¹/₈ = 2
b₁₀ = 16 * ¹/₁₀₂₄ = ¹/₆₄

---

323-բ,դ.

բ)

b₁ = -2, b_{n + 1} = 5 * b_n
b₂ = 5 * b₁ = 5 * -2 = -10
b₃ = 5 * b₂ = 5 * -10 = -50
b₄ = 5 * b₃ = 5 * -50 = -250
b₅ = 5 * b₄ = 5 * -250 = -1250

դ)

x₁ = 8, x_{n + 1} = 0,25 * x_n
x₂ = 0,25 * x₁ = 0,25 * 8 = 2
x₃ = 0,25 * x₂ = 0,25 * 2 = ¹/₂
x₄ = 0,25 * x₃ = 0,25 * ¹/₂ = ¹/₈
x₅ = 0,25 * x₄ = 0,25 * ¹/₈ = ¹/₃₂

285.

ա)

/xy = 171
\x + y = 28

x = 28 – y

xy = (28 – y)y = -y² + 28y = 171
-y² + 28y – 171 = 0

D = b² – 4ac = 28² – 4 * -171 * -1 = 784 – 684 = 100

y = (-b ± √D)/2a = (-28 ± √100)/(2 * -1) = (-28 ± 10)/-2 = -(-14 ± 5)
y₁ = -(-14 + 5) = 14 – 5 = 9
y₂ = -(-14 – 5) = 14 + 5 = 19
x₁ = 28 – y₁ = 28 – 9 = 19
x₂ = 28 – y₂ = 28 – 19 = 9

Պատ․ (x; y) ∈ {(9; 19), (19; 9)}

բ)

/xy = 231
\x – y = 10

x = y + 10

xy = y(y + 10) = y² + 10y = 231
y² + 10y – 231 = 0

D = b² – 4ac = 10² – 4 * -231 = 100 + 924 = 1024

y = (-b ± √D)/2a = (-10 ± √1024)/2a = (-10 ± 32)/2 = -5 ± 16
y₁ = -5 + 16 = 11
y₂ = -5 – 16 = -21
x₁ = y₁ + 10 = 11 + 10 = 21
x₂ = y₂ + 10 = -11

Պատ․ (x; y) ∈ {(11; 21), (-21; -11)}

գ)

/x + y = 3
\x² + y² = 65

y = 3 – x

x² + y² = 65
x² + (3 – x)² = x² + 9 – 6x + x² = 2x² – 6x + 9 = 65
2x² – 6x – 56 = 0

D = b² – 4ac = (-6)² – 4 * 2 * -56 = 36 + 448 = 484

x = (-b ± √D)/2a = (6 ± √484)/4 = (6 ± 22)/4 = 1,5 ± 5,5
x₁ = 1,5 + 5,5 = 7
x₂ = 1,5 – 5,5 = -4
y₁ = 3 – x₁ = 3 – 7 = -4
y₂ = 3 – x₂ = 3 + 4 = 7

Պատ․ (x; y) ∈ {(7; -4), (-4; 7)}

դ)

/x – y = 11
\x² – y² = 11

x = y + 11

(y + 11)² – y² = 11
y² + 22y + 121 – y² = 11
22y + 121 = 11
22y = -110
y = -5
x = y + 11 = -5 + 11 = 6

Պատ․ (x; y) = (6; -5)

---

287․

ա)

/(x + 5)(y + 4) = xy + 113
\(x + 4)(y + 5) = xy + 116

/xy + 4x + 5y + 20 = xy + 113
\xy + 5x + 4y + 20 = xy + 116

/4x + 5y = 93
\5x + 4y = 96

5x + 4y – (4x + 5y) = 96 – 93
x – y = 3
x = y + 3

(y + 7)(y + 5) = (y + 3)y + 116
y² + 12y + 35 = y² + 3y + 116
9y = 81
y = 9
x = y + 3 = 12

(x; y) = (12; 9)
Պատ․ երկարություն = 12 մ, լայնություն = 9 մ

բ)

/(x + 3)(y – 2) = xy
\(x – 2)(y + 3) = xy

/xy – 2x + 3y – 6 = xy
\xy + 3x – 2y – 6 = xy

/3y – 2x – 6 = 0
\2x – 2y – 6 = 0

3y – 2x – 6 = 2x – 2y – 6
5y = 4x
x = 1,25y

(1,25y + 3)(y – 2) = y * 1,25y
1,25y² – 2,5y + 3y – 6 = 1,25y²
0,5y – 6 = 0
0,5y = 6
y = 12
x = 1,25y = 1,25 * 12 = 15

(x; y) = (15; 12)
Պատ․ երկարություն = 15 մ, լայնություն = 12 մ

---

ՏՆԱՅԻՆ․

---

286․

ա)

/2x + 2y = 25
\xy = 34

y = 12,5 – x

(12,5 – x)x = 34
12,5x – x² = 34
-x² + 12,5x – 34 = 0
x² – 12,5x + 34 = 0

D = b² – 4ac = (-12,5)² – 4 * 34 = 156,25 – 136 = 20,25

x = (-b ± √D)/2a = (12,5 ± √20,25)/2 = (12,5 ± 4,5)/2 = 6,25 ± 2,25
x₁ = 6,25 + 2,25 = 8,5
x₂ = 6,25 – 2,25 = 4
y₁ = 12,5 – x₁ = 12,5 – 8,5 = 4
y₂ = 12,5 – x₂ = 12,5 – 4 = 8,5

Պատ․ (x; y) ∈ {(8,5; 4), (4; 8,5)}

բ)

/2x + 2y = 10,6
\xy = 6,72

y = 5,3 – x

x(5,3 – x) = 6,72
5,3x – x² = 6,72
-x² + 5,3x – 6,72 = 0
x² – 5,3x + 6,72 = 0

D = b² – 4ac = (-5,3)² – 4 * 6,72 = 28,09 – 26,88 = 1,21

x = (-b ± √D)/2a = (5,3 ± √1,21)/2 = (5,3 ± 1,1)/2 = 2,65 ± 0,55
x₁ = 2,65 + 0,55 = 3,2
x₂ = 2,65 – 0,55 = 2,1
y₁ = 5,3 – x₁ = 5,3 – 3,2 = 2,1
y₂ = 5,3 – x₂ = 5,3 – 2,1 = 3,2

Պատ․ (x; y) ∈ {(3,2; 2,1), (2,1; 3,2)}

գ)

/y = x + 4
\x² + y² = 52

x² + (x + 4)² = 52
x² + x² + 8x + 16 = 52
2x² + 8x – 36 = 0
x² + 4x – 18 = 0

D = b² – 4ac = 4² – 4 * -18 = 16 + 72 = 88

x = (-b ± √D)/2a = (-4 ± √88)/2 = (-4 ± 2√22)/2 = -2 ± √22
x₁ = √22 – 2 ≈ 2,69
x₂ = -2 – √22 ≈ -6,69
y₁ = x₁ + 4 = √22 – 2 + 4 ≈ 6,69
y₂ = x₂ + 4 = -√22 – 2 + 4 ≈ -2,69

Պատ․ (x; y) = (2,69; 6,69)

դ) Ուղղանկյան մի կողմը մյուս կողմից 5 մ-ով մեծ է, և ուղղանկյան կողմերի վրա կառուցված քառակուսիների մակերեսների գումարը հավասար է 277 մ²։ Գտեք ուղղանկյան կողմերը։

/x = y + 5
\x² + y² = 277

(y + 5)² + y² = 277
y² + 10y + 25 + y² = 277
2y² + 10y – 252 = 0
y² + 5y – 126 = 0

D = b² – 4ac = 5² – 4 * -126 = 25 + 504 = 529

y = (-b ± √D)/2a = (-5 ± √529)/2 = (-5 ± 23)/2 = -2,5 ± 11,5
y₁ = -2,5 + 11,5 = 9
y₂ = -2,5 – 11,5 = -14
x₁ = y₁ + 5 = 9 + 5 = 14
x₂ = y₂ + 5 = -14 + 5 = -9

Պատ․ (x; y) = (14; 9)

---

288․

ա)

x = մեկ հերթափոխման ժամանակ առաջին բանվորի աշխատանք
y = մեկ հերթափոխման ժամանակ երկրորդ բանվորի աշխատանք

/x + y = 72
\1,15x + 1,25y = 86

1,15x + 1,15y = 1,15 * 72 = 82,8
1,15x + 1,25y – (1,15x + 1,15y) = 86 – 82,8 = 3,2
0,1y = 3,2
y = 32
x = 72 – y = 72 – 32 = 40

Պատ․ (x; y) = (40; 32)

բ)

x = երկրորդ հեծանվորդի արագություն (մ/վ)
y = առաջին հեծանվորդի արագություն (մ/վ)

/50x – 50y – 50 = 50
\70x – 75y – 50 = 75

/x – y – 1 = 1
\14x – 15y – 10 = 15

x = y + 2
14(y + 2) – 15y – 25 = 0
14y + 28 – 15y – 25 = 0
3 – y = 0
y = 3
x = y + 2 = 3 + 2 = 5

x = 5 մ/վ
Պատ․ 5 մ

281-ա,գ. Լուծեք հավասարումների համակարգը․

ա)

/x + y – 7 = 0
\x² + xy + y² = 43

գ)

/x + y = 3
\x^² – y^² – 4xy + 11 = 0

y = 3 – x

x^² – y^² – 4xy + 11 = 0
x^² – (3 – x)^² – 4x(3 – x) + 11 = 0
x^² – 9 + 6x – x² – 12x + 4x² + 11 = 0
4x² – 6x + 2 = 0

D = b² – 4ac = (-6)² – 4 * 4 * 2 = 36 – 32 = 4

x = (-b ± √D)/2a = (6 ± √4)/(2 * 4) = (6 ± 2)/8 = 0,75 ± 0,25
x₁ = 0,75 + 0,25 = 1
x₂ = 0,75 – 0,25 = 0,5

y₁ = 3 – x₁ = 3 – 1 = 2
y₂ = 3 – x₂ = 3 – 0,5 = 2,5

Պատ․ (x; y) ∈ {(1; 2), (0,5; 2,5)}

---

282-ա,գ. Լուծեք հավասարումների համակարգը․

ա)

/x + y = 2
\9x² – 3xy + y = 1

y = 2 – x
9x² – 3xy + y = 1
9x² – 3x(2 – x) + 2 – x = 1
9x² – 6x + 3x² + 2 – x = 1
12x² – 7x + 2 = 1
12x² – 7x + 1 = 0

D = b² – 4ac = (-7)² – 4 * 12 = 49 – 48 = 1

x = (-b ± √D)/2a = (7 ± 1)/24
x₁ = (7 + 1)/24 = 8/24 = 1/3
x₂ = (7 – 1)/24 = 6/24 = ¼

y₁ = 2 – x₁ = 6/3 – 1/3 = 5/3
y₂ = 2 – x₂ = 8/4 – 1/4 = 7/4

Պատ․ (x; y) ∈ {(¹/₃; ⁵/₃), (¼, ⁷/₄)}

գ)

/2x + y = 1
\3x² = (y – 2)² – 2x

y = 1 – 2x

3x² = (1 – 2x – 2)² – 2x
3x² = (- 2x – 1)² – 2x
3x² = 4x² + 4x + 1 – 2x
x² + 2x + 1 = 0

D = b² – 4ac = 2² – 4 = 4 – 4 = 0
x = (-b ± √D)/2a = -2/2 = -1

y = 1 – 2x = 1 – 2 * (-1) = 1 + 2 = 3

Պատ․ (x; y) = (-1; 3)

---

283-ա,գ. Լուծեք հավասարումների համակարգը․

ա)

/x + y + z = 6
|y + z = 3
\z = 1

z = 1

/x + y + 1 = 6
\y + 1 = 3

/x + y = 5
\y = 2

y = 2

{x + 2 = 5
{x = 3

Պատ․ (x; y; z) = (3; 2; 1)

գ)

/x + y + z = 2
|x + z = 1
\x + y = 3

/x + y + z = 2
|x + z = 1
\x + y = 3

/x + y + z = 2
|z = 1 – x
\y = 3 – x

{x + 3 – x + 1 – x = 2
{4 – 2x = 2
{2 = 2x
{x = 1

z = 1 – x = 1 – 1 = 0
y = 3 – x = 3 – 1 = 2

Պատ․ (x; y; z) = (1; 2; 0)

---

284-ա,գ. Լուծեք հավասարումների համակարգը․

ա)

/1/x + 1/y = 1 1/2
\x – 1 = 1

/1/x + 1/y = 1 1/2
\x = 2

{1/2 + 1/y = 1 1/2
{1/y = 1
{y = 1/1 = 1

Պատ․ (x; y) = (2; 1)

գ)

---

ՏՆԱՅԻՆ․

---

281-բ,դ. Լուծեք հավասարումների համակարգը․

բ)

/x + y – 6 = 0
\2x² – y² = -23

y = 6 – x

2x² – y² = -23
2x² – (6 – x)² = -23
2x² – 36 + 12x – x² = -23
x² + 12x – 13 = 0

D = b² – 4ac = 12² – 4 * -13 = 144 + 52 = 196

x = (-b ± √D)/2a = (-12 ± √196)/2 = (-12 ± 14)/2 = -6 ± 7
x₁ = -6 + 7 = 1
x₂ = -6 – 7 = -13
y₁ = 6 – x1 = 6 – 1 = 5
y₂ = 6 – x2 = 6 + 13 = 19

Պատ․ (x; y) ∈ {(1; 5), (-13, 19)

դ)

/x + y = 12
\2xy = 9(x – y)

/x + y = 12
\2xy = 9(x – y)

y = 12 – x

2xy = 9(x – y)
2x(12 – x) = 9(x – (12 – x))
24x – 2x² = 9(2x – 12)
24x – 2x² = 18x – 108
12x – x² = 9x – 54
-x² + 12x – (9x – 54) = 0
-x² + 12x – 9x + 54 = 0
-x² + 3x + 54 = 0

D = b² – 4ac = 3² – 4 * -1 * 54 = 9 + 216 = 225

x = (-b ± √D)/2a = (-3 ± √225)/(2 * -1) = (-3 ± 15)/-2
x₁ = (-3 + 15)/-2 = 12/-2 = -6
x₂ = (-3 – 15)/-2 = -18/-2 = 9
y₁ = 12 – x₁ = 12 + 6 = 18
y₂ = 12 – x₂ = 12 – 9 = 3

Պատ․ (x; y) ∈ {(-6; 18), (9; 3)}

---

282-բ,դ. Լուծեք հավասարումների համակարգը․

բ)

/x – 3y = 1
\2xy – x² + 9y² = 11 – 4x

x = 3y + 1

2xy – x² + 9y² = 11 – 4x
2y(3y + 1) – (3y + 1)² + 9y² = 11 – 4(3y + 1)
6y² + 2y – 9y² – 6y – 1 + 9y² = 11 – 12y – 4
6y² + 8y – 8 = 0
3y² + 4y – 4 = 0

D = b² – 4ac = (4)² – 4 * 3 * -4 = 16 + 48 = 64

y = (-b ± √D)/2a = (-4 ± √64)/6 = (-4 ± 8)/6 = (-2 ± 4)/3
y₁ = (-2 + 4)/3 = ²/₃
y₂ = (-2 – 4)/3 = -6/3 = -2
x₁ = 3y₁ + 1 = 2 + 1 = 3
x₂ = 3y₂ + 1 = –6 + 1 = -5

Պատ․ (x; y) ∈ {(3; ²/₃), (-5; -2)}

դ)

/x – 4y = 10
\(x – 1)² = 7(x + y) + 1

x = 10 + 4y

(10 + 4y – 1)² = 7(10 + 4y + y) + 1
(4y + 9)² = 7(10 + 5y) + 1
16y² + 72y + 81= 71 + 35y
16y² + 37y + 10 = 0

D = b² – 4ac = 37² – 4 * 16 * 10 = 1369 – 640 = 729

y = (-b ± √D)/2a = (-37 ± √729)/32 = (-37 ± 27)/32
y₁ = (-37 + 27)/32 = ^-10/₃₂ = ^-5/₃₂
y₂ = (-37 – 27)/32 = ^-64/₃₂ = -2
x₁ = 10 + 4y₁ = 10 + 4 * ^-5/₃₂ = ³²⁰/₃₂ + ^-20/₃₂ = ³⁰⁰/₃₂ = ⁷⁵/₈
x₂ = 10 + 4y₂ = 10 + 4 * -2 = 10 – 8 = 2

Պատ․ (x; y) ∈ {(⁷⁵/₈; ^-5/₃₂), (2; -2)}

---

283-բ,դ. Լուծեք հավասարումների համակարգը․

բ)

/x + y + z = 0
|x + z = 2
\x = -1

z – 1 = 2
z = 3

x + y + z = 0
y + 3 – 1 = 0
y = -2

Պատ․ (x; y; z) = (-1; -2; 3)

դ)

/x + y + z = 2
|y + z = 3
\x + y = 1

1 + z = 2
z = 1

x + 3 = 2
x = -1

y – 1 = 1
y = 2

Պատ․ (x; y; z) = (-1; 2; 1)

---

284-բ,դ. Լուծեք հավասարումների համակարգը․

բ)

/¹/_x – ¹/_y = –¹/₄
\y + 1 = 3

y = 2

¹/_x – ¹/₂ = –¹/₄
¹/_x – ²/₄ = –¹/₄
¹/_x – ¹/₄ = 0
¹/_x = ¹/₄
x = 4

Պատ․ (x; y) = (4; 2)

դ)

/¹/_y + ¹/_x = ⁵/₆
\x + y = 5

y = 5 – x

¹/_{(5 – x)} + ¹/_x = ⁵/₆
^x/_{(5 – x)} + 1 = ^5x/₆

x + 5 – x = ^{5x(5 – x)}/₆
5 = ^{25x – 5x²}/₆
30 = 25x – 5x²
-5x² + 25x – 30 = 0
x² – 5x + 6 = 0

D = b² – 4ac = (-5)² – 4 * 6 = 25 – 24 = 1

x = (-b ± √D)/2a = (5 ± √1)/-2 = (5 ± 1)/-2 = 2,5 ± 0,5
x₁ = 2,5 + 0,5 = 3
x₂ = 2,5 – 0,5 = 2
y₁ = 5 – x₁ = 5 – 3 = 2
y₂ = 5 – x₂ = 5 – 2 = 3

Պատ. (x; y) ∈ {(3; 2), (2; 3)}