S = (V² – V₀²)/2a ⇒ S = V₀t + at²/2
S = (V² – V₀²)/2a
a² – b² = (a + b)(a – b)
(V² – V₀²)/2a = (V + V₀)(V – V₀)/2a
a = (V – V₀)/t
(V + V₀)(V – V₀)/2a = (V + V₀)(V – V₀)/2((V – V₀)/t) = t(V + V₀)/2
V = V₀ + at
t(V + V₀)/2 = t(V₀ + at + V₀)/2 = (2V₀t + at²)/2 = V₀t + at²/2

V₀ = 0 մ/վ
a = 0,6 մ/վ²
t = 15 վ
V – ?

V = V₀ + at = at
V = 0,6 · 15 = 9 մ/վ

V₀ = 0 մ/վ
a = 0,8 մ/վ²
s = 1 կմ
t – ?

s = V0t + at²/2 = at²/2
s = 0,8t²/2 = 0,4t²
0,4t² = 1 
t = √1/0,4 = √2,5 ≈ 1,58 վ

V = 20 մ/վ
V₀ = 0 մ/վ
t = 4 վ
a – ?

a = (V – V₀)/t
a = 20/4 = 5 մ/վ²
Պատ․ 5 մ/վ²

V₀ = 8 մ/վ
V = 0 մ/վ
a = -0,4 մ/վ²
t – ?

a = (V – V0)/t 
t = (V – V0)/a
t = -8/0,4 = 20 վ

Պատ․ 20 վ

V₀ = 80 մ/վ
V = 0մ/վ
s = 1600 կմ
a – ?

V² = u² – 2as
a = (v² – u²)/2s
a = (0 – 80²)/2·1600 = -6400/3200 = -2 մ/վ²

Պատ․ -2 մ/վ²

V₀ = 1 մ/վ
V = 7 մ/վ

V² = V₀² + 2as
7² = 1² + 2as

49 = 1 + 2as
2as = 48
as = 24
V² = V₀² + as
V² = 1² + 48/2 = 1 + 24 = 25
V = √25 = 5 մ/վ

Պատ․ 5 մ/վ

V₀ = 0 մ/վ
t = 20 վ
s = 0,2t²
V – ?

s = at²/2
s = at²/2
s = 0,2t²
a = 2 · 0,2 = 0,4 մ/վ²
a = 0,2 մ/վ²
V = V₀ + at 
V = 0 + 0,4 · 20 = 8 մ/վ

Պատ․ 8 մ/վ

s = 16t – 2t²
V = 0 մ/վ
t – ?

s = ut + at²/2
s = 16t – 2t²
V0 = 16 մ/վ
a = -2 · 2 = -4 մ/վ
V = V₀ + at
16 – 4t = 0
16 = 4t
t = 16/4 = 4 վ

Պատ․ 4 վ

V₀ = 0 մ/վ
s = 80 մ
a = 10 մ/վ²
t – ?

s = V₀t + at²/2
s = 0 + 10t²/2
10t²/2 = 80
10t² = 160
t² = 16
t = √16 = 4 վ

Պատ․ 4 վ

V₀ = 5 մ/վ
t = 8 վ
a = 10 մ/վ
V – ?

V = V₀ + at
V = 5 + 10 · 8 = 5 * 80 = 85 մ/վ

Պատ․ 85 մ/վ

t₂ = 3 վ
t1 = 2 վ
t = t₂ – t₁ = 3 – 2 = 1 վ
V₀ = 6 մ/վ
a = 10 մ/վ²
s – ?

V1 = V₀ + at₀
V1 = 6 + 10·2 = 6 + 20 = 26 մ/վ
s = V₁t + at² 
s = 26 + 10 · 1² = 26 + 10 = 36 մ

Պատ․ 36 մ

t₂ = 3 վ
t1 = 2 վ
t = t₂ – t₁ = 3 – 2 = 1 վ
V₀ = 0 մ/վ
a = 10 մ/վ²
s – ?

V1 = V₀ + at₀
V1 = 0 + 10·2 = 20 մ/վ
s = V₁t + at² 
s = 20 + 10 · 1² = 20 + 10 = 30 մ

Պատ․ 30 մ

a = 10 մ/վ²
t = 2 վ
s = 100 մ
V₀ – ?

s = ut + at²/2
100 = 2V₀ + (10 · 2²)/2 = 2V₀ + 20
2V₀ + 20 = 100
2V₀ = 80
V₀ = 40 մ/վ

Պատ․ 40 մ/վ

V₀ = 40 մ/վ
V = V₀/2 = 20 մ/վ
a = -10 մ/վ²
t – ?

V = V₀ + at²
t² = (V – V₀)/a 
t² = (40 – 20)/10 = 20/10 = 2 վ²
t = √2 = 1,4 վ

Պատ․ 1,4 վ

V₀ = 40 մ/վ
V = -40 մ/վ
a = -10 մ/վ²
t – ?

a = (V – V₀)/t
t = (V – V₀)/a 
t = (-40 – 40)/-10 = -80/-10 = 8 վ

Պատ․ 8 վ

V_{ուղղահայաց} = V_ուղղ
V_{հորիզոնական} = V_հոր
V_ուղղ0 = 0 մ/վ
a_ուղղ = -10 մ/վ²
sուղղ = 20 մ
V_հոր – ?

s = V₀t + at²/2
s = at²/2 = 10t²/2 = 5t²
5t² = 20
t² = 4
t = √4 = 2 վ

s_հոր = Vt
V = s/t = 10/2 = 5 մ/վ

Պատ․ 5 մ/վ

V_{ուղղահայաց} = V_ուղղ
V_{հորիզոնական} = V_հոր
V_ուղղ0 = 0 մ/վ
a_ուղղ = -10 մ/վ²
s_ուղղ = 2000 մ
V_հոր = 250 մ/վ
s_հոր – ?

s = V₀t + at²/2
s = at²/2 = 10t²/2 = 5t²
5t² = 2000
t² = 400
t = √4 = 20 վ

s_հոր = Vt
s_հոր = 250 · 20 = 5000 մ

Պատ․ 5000 մ

s_հոր = 40 մ/վ
V_ուղղ0 = 0 մ/վ
a_ուղղ = 10 մ/վ²
t = 3 վ
V – ?

V = V₀ + at
V_ուղղ = 3 · 10 = 30 մ/վ
a² + b² = c²
V² = 30² + 40² = 900 + 1600 = 2500
V = √2500 = 50 մ/վ

Պատ․ 50 մ/վ

V = 20 մ/վ
t – ?

V_ուղղ = 20 · sin 30° = 20 · 0,5 = 10 մ/վ
t = (V – V0)/a
t = (-10 – 10)/-10 = -20/-10 = 2 վ

Պատ․ 2 վ

V₀ = 40 մ/վ
a_ուղղ = -10 մ/վ²
s_ուղղ – ?
V_ուղղ0 = V · sin 45° = 40/√2 = 40/1,4 = 29 մ/վ
V_ուղղ = 0 մ/վ
V² = V₀² + 2as
s = (V² – V₀²)/2a
s_ուղղ = (0 – 29²)/2·-10 = -841/-20 ≈ 42 մ

Պատ․ 42 մ

t = 1 ր = 60 վ
s = 180° = π
D – ?

N = 180°/360° = 0,5
D = N/t = 0,5/60վ = 1/120 Հց
Պատ․ 1/120 Հց

r₂ = 4r₁
T₂ = 1 ժ = 3600 վ
T₁ = 1 ր = 60 վ
v₁/v₂ – ?

v = 2πr/T
v₁ = 2πr₁/60 = πr₁/30
v₂ = 2πr₂/3600 = π·4r₁/1800 = πr₁/450
v₁/v₂ = (πr₁/30)/(πr₁/450) = 15

Պատ․ 15 անգամ

1, 2, 3, 4, …

a = bn (n ∈ ℤ)

a = bn + m (m, n ∈ ℤ) (m < n)
25 = 8 * 3 + 1
19 = 4 * 4 + 3
108 = 21 * 5 + 3

a = bn + m (n ∈ ℤ) (m ∈ W) (m < n)
n = 13
m < n, m ∈ W
m ∈ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12

0 = n·0 (n ∈ ℤ) 
n·0 = 0

a = 3n (n ∈ ℤ)
a² = (3n)²
a² = 9n²

Պատ․ այո

a = 5n + 4 (n ∈ ℤ)
a² = (5n + 4)²
a² = 25n² + 40n + 16
(25n² + 40n + 16)/5 = 5n² + 8n + 3 (1 մնացորդ)

Պատ․ 1

a = 7n + 2 (n ∈ ℤ)
a³ + 5a = (7n + 2)³ + 5(7n + 2) = 
= 343n³ + 294n² + 84n + 8 + 35n + 10 = 
= 343n³ + 294n² + 119n + 18 

(343n³ + 294n² + 119n + 18)/7 = 49n³ + 42n² + 17n + 2 (4 մնացորդ)

Պատ․ 4 մնացորդ

Մարդու և հասարակության հիմնախնդիրն ուսումնասիրող բազմաթիվ գիտություններ կան։ Ընդունված է բաժանել երկու խմբի՝ հարակական և սոցիալ հումանիտար։ Այդ գիտություններց յուրաքանչյուրը որոշակի հարց է ներկայացնում․

• մարդու վարքը հասարակական կյանքում, հոգեկան գործունեությունը, և հոգեկան բնույթը,
• հասարակության կայացման և զարգացման օրինաչափությունները և նրանց առանձնահատկությունները,
• մարդու և հասարակության կապը պետական և ոչ պետական կառույցների հետ,
• մարդկանց կյանքին անհրաժեշտ ապրանքներ և ծառայությունների արտադրումը և բաշխումը,
• մարդկանց իմացության ու կեցության ընդհանուր սկզբունքների և օրինաչափությունները։

Ժամանակակից մարդու և հասարակության կյանքը զգալիորեն կախված է գիտության հաձողություններց։ Հասարակության զարգացումն ու առաջընթացը կապվում են գիտատեխնիկական առաջընթացի հետ։ Բժշկագիտության զարգացման և բժշկության որակի բարձրացման շնորհիվ մարդկանց կյանքի միջին տևողությունը երկարել է, բազմաթիվ հիվանդություններ վերացել են, հիվանդությունների գոյատևման ցուցանիշը բարձրացել է։ Այդ անկասկած առաջընթաց է։

Գերմանացի փիլիսոփա Իմանուիլ Կանտի կարծիքով, մարդու զարգացումը պետք է որոնել ոչ թե գիտության զարգացման, այլ մարդկանց կարողությունների մեջ։ Նա ելնում է այն դրույթից, որ բնությունը անպետք բան չի ստեղծում։ Մարդն օժտված է բազմաթիվ կարողություններով, որոնք բնական են և հետևաբա ավելորդ չեն։ Մարդը իր կյանքի ընթացքում չի կարող լիարժեք զարգացնել իր կարողությունները, և հետևաբար այդ կարողությունները մարդուն տրվել են, որպեսզի մարդկությունը սերնդեսերունդ աստիժանաբար զարգացնի դրանք։

Մի դարաշրջանից մյուսը մարդկանց զարգացումը, ըստ նրա, չափվում է մարդկային կարողությունների զարգացման չափով։ Մարդկանց կարողությունները կարող են զարգանալ միայն հասարակության մեջ՝ այլ մարդկանց միջավայրում, ազատ և խաղաղ պայմաններում, եթե հասարակության մեջ լինեն համապատասխան ինստիտուտներ՝ պետություն, ընտանիք, գիտություն, և այլն։

Հայտնի 20-րդ դարի փիլիսոփա Մարտին Հեյդեգերը այլ տեսակետ ունի։ Նա նկատում է, որ մարդկության ամբողջ պատմությունից, ներկայիս դարաշրջանը ամենաշատ գիտելիքը ունի մարդկանց մասին, և ոչ մի դարաշրջան այնքան արագ և հեշտ չի ստացել այն գիտելիքները, որքան ներկայիս դարաշրջանը։ Սակայն ոչ մի դարաշրջան այնքան քիչ չի իմացել մարդկության մասին, որքան մեր դարաշրջանը, և երբեք մարդկության գոյությունն այնքան խնդիրահարույց չի եղել, քան այս դարաշրջանում։

a² + b² = c²
AB² + BC² = AC² 
2² + (√5)² = AC² 
4 + 5 = AC²
AC² = 9
AC = √9 = 3 մ

Պատ․ 3 մ

x = 6 մ
y = 8 մ

a² + b² = c²
x² + y² = AC²

6² + 8² = AC²
36 + 64 = AC²
100 = AC²
AC = 10 մ

Պատ․ 10 մ

V = 36 կմ/ժ
s = 500 մ = 0,5 կգ
t – ?

t = s/V
t = (0,5 կգ)/(36 կմ/ժ) = 1/72 ժ = 3600/72 վ = 50 վ

Պատ․ 50 վ

s = 18 կմ = 1800 մ
V₁ = 15 մ/վ
V₂ = 10 մ/վ
V = V₁ + V₂
t – ?

V = V1 + V2 = 15 մ/վ + 10 մ/վ = 25 մ/վ
t = s/V
t = (1800 մ)/(25 մ/վ) = 72 վ

Պատ․ 72 վ

s = 600 մ
t₁ = 25 վ
t₂ = 15 վ
V₂ – V₁ – ?

V₁ = s/t₁
V₁ = (600 մ)/(25 վ) = 24 մ/վ

V₂ = s/t₂
V₂ = (600 մ)/(15 վ) = 40 մ/վ

V₂ – V₁ = 40 մ/վ – 24 մ/վ = 16 մ/վ

Պատ․ 16 մ/վ-ով

s₁ = 600 մ
s₂ = 300 մ
s = s₁ + s₂
V = 36 կմ/ժ
t – ?

s = s₁ + s₂ = 600 + 300 = 900 մ = 0,9 կմ
t = (0,9 կմ)/(36 կմ/ժ) = 1/40 ժ = 1,5 ր

Պատ․ 1,5 ր

V₁ = 15 մ/վ
V₂ = 10 մ/վ
s₁ = 3/4s
s₂ = 1/4s
t₁/t₂ – ?

t₁ = s₁/V₁
t₁ = (3/4s)/(15 մ/վ) = (1/20)s վ
t₂ = s₂/V₂
t₂ = (1/4s)/(10 մ/վ) = (1/40)s վ

t₁/t₂ = ((1/20)s վ)/((1/40)s վ) = 2

Պատ․ 2 անգամ

V₁ = 15 մ/վ
V₂ = 10 մ/վ
V = V₁ + V₂
t = 30 վ
s – ?

V = V₁ + V₂
V = 15 մ/վ + 10 մ/վ = 25 մ/վ

s = t * V
s = 30 վ * 25 մ/վ = 750 մ

Պատ․ 750 մ

x = -3 + 5t
y = 7 – 12t
|V| – ?

V_x = 5 մ/վ
V_y = 12 մ/վ

a² + b² = c²
V_x² + V_y² = V²
5² + 12² = V²
25 + 144 = V²
169 = V²
V² = √169
V = 13 մ/վ
|V| = 13 մ/վ

V_{հյուսիս} = V_հ =16 մ/վ
V_{արևելյան} = V_ա = 12 մ/վ
V – ?

a² + b² = c²
V_հ² + V_ա² = V²
16² + 12² = V²
256 + 144 = V²
400 = V²
V² = √400
V = 20 մ/վ

Պատ․ 20 մ/վ

|AB→| = 3
|BC→| = 6
<ACB – ?

tan <ACB = |AB→|/|BC→|
tan <ACB = 3/6 = 0,5
<ACB = 30°

Պատ․ 30°

V₁ = 12 մ/վ
V₂ = 9 մ/վ
V₁ – V₂ – ?

V₁ – V₂ = 12 մ/վ – 9 մ/վ = 3 մ/վ

Պատ․ 3 մ/վ

V₁ = 6 մ/վ
V₂ = 8 մ/վ
V₁ + V₂ – ?

V₁ + V₂ = 6 մ/վ + 8 մ/վ = 14 մ/վ

Պատ․ 14 մ/վ

V_նավ = V_ն
V_գետ = V_գ
V_ն = 2 * V_գ
V_հակ/V_ուղղ – ?

V_հակ = V_ն – V_գ = 2 * V_գ – V_գ = V_գ
V_ուղղ = V_ն + V_գ = 2 * V_գ + V_գ = 3 * V_գ
V_հակ/V_ուղղ = V_գ/3*V_գ = 1/3

Պատ․ 1/3

t₁ = 6 վ
t₂ = 10 վ
t₃ = 4 վ
s₁ = 30 մ
s₂ = 110 մ
s₃ = 20 մ
V_միջին – ?

t = t₁ + t₂ + t₃ = 6 + 10 + 4 = 20 վ
s = s₁ + s₂ + s₃ = 30 + 110 + 20 = 150 մ
V_միջին = s/t = 150/20 = 7,5 մ/վ

Պատ․ 7,5 մ/վ

V₁ = 5 մ/վ
V₂ = 7,5 մ/վ
s₁ = s₂ = 0,5s
V_միջին – ?

t₁ = s₁/V₁ = 0,5s/5 = 0,1s վ
t₂ = s₂/V₂ = 0,5s/7,5 = (0,2s/3) վ
t = t₁ + t₂ = 0,1s + 0,2s/3 = 0,5s/3
V_միջին = (t₁ * V₁ + t₂ * V₂)/t
V_միջին = (0,1s * 5 + 0,2s/3 * 7,5)/(0,5s/3) = (0,5s + 0,5s) * (3/0,5s) = 3s/0,5s = 6 մ/վ

Պատ․ 6 մ/վ

1. (x + 1)/(x – 3) > 0

(x + 1)(x – 3) = 
⌈x + 1 = 0 ⇒ x = -1

⌊x – 3 = 0 ⇒ x = 3

(x + 1)(x – 3) > 0
x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; +∞)

x – 3 ≠ 0 ⇒ x ≠ 3

Պատ․ x ∈ (-∞; -1) ∪ (3; +∞)

2. (2x – 6)/(x + 4) ≤ 0

(2x – 6)(x + 4) = 0
⌈2x – 6 = 0 ⇒ x = 3
⌊x + 4 = 0 ⇒ x = -4

(2x – 6)(x + 4) ≤ 0
x ∈ [-4; 3]

x + 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ -4

Պատ․ x ∈ (-4; 3]

3. ((x + 4)(3x – 6))/(2x + 10) > 0

(x + 4)(3x – 6)(2x + 10) = 0
⌈x + 4 = 0 ⇒ x = -4
|3x – 6 = 0 ⇒ x = 2
⌊2x + 10 = 0 ⇒ x = -5

(x + 4)(3x – 6)(2x + 10) > 0
x ∈ (-5; -4) ∪ (2; +∞)

2x + 10 ≠ 0 ⇒ x ≠ -5

Պատ․ x ∈ (-5; -4) ∪ (2; +∞)

4. (x – 3)/((2x – 4)(x + 5)) ≥ 0

(x – 3)(2x – 4)(x + 5) = 0
⌈x – 3 = 0 ⇒ x = 3
|2x – 4 = 0 ⇒ x = 2
⌊x + 5 = 0 ⇒ x = -5

(x – 3)(2x – 4)(x + 5) ≥ 0
x ∈ [-5; 2] ∪ [3; +∞)

2x – 4 ≠ 0 ⇒ x ≠ 2
x + 5 ≠ 0 ⇒ x ≠ -5

Պատ․ x ∈ (-5; 2) ∪ [3; +∞)

5.(x(x + 5))/((2x + 6)(x – 7)) ≥ 0

x(x + 5)(2x + 6)(x – 7) = 0
⌈x = 0
|x + 5 = 0 ⇒ x = -5
|2x + 6 = 0 ⇒ x = -3
⌊x – 7 = 0 ⇒ x = 7

x(x + 5)(2x + 6)(x – 7) ≥ 0
x ∈ (-∞; -5] ∪ [-3; 0] ∪ [7; +∞)

⌈2x + 6 ≠ 0 ⇒ x ≠ -3
⌊x – 7 ≠ 0 ⇒ x ≠ 7

Պատ․ x ∈ (-∞; -5] ∪ (-3; 0] ∪ (7; +∞)

a-ի տեղը y եմ օգտագործել որպեսզի չխառնվի։

5․ (y² – 9)x² – (2y + 6)x + 1 = 0

D < 0
a = (y² – 9)
b = -(2y + 6)
c = 1

D = b² – 4ac = (-(2y + 6))² – 4 · (y² – 9) = 4y² + 24y + 36 – 4y² + 36 = 24y + 72
D = 0
24y + 72 = 0
24y = -72
y = -3

D < 0
y < -3

Պատ․ y ∈ (-∞; -3)

6. (y + 2)²x² – (y + 2)x² – 1 = 0

D < 0
a = (y + 2)²
b = -(y + 2)
c = -1

D = b² – 4ac = (-(y + 2))² – 4 · (y + 2)² · -1 = (y + 2)² + 4(y + 2)² = 5(y + 2)²
D = 0
5(y + 2)² = 0
5(y + 2) = 0
y + 2 = 0
y = -2

D < 0
y < -2

Պատ․ y ∈ (-∞; -2)

8. (y – 1)x² – x(y – 1) + 1 = 0

D ≥ 0
a = y – 1
b = -(y – 1)
c = 1

D = b² – 4ac = (-(y – 1))² – 4 · (y – 1) = y² – 2y + 1 – 4y + 4 = y² – 6y + 5

D = 0
y² – 6y + 5 = 0

y₁y₂ = c/a = 5
y₁ + y₂ = -b/a = 6
y₁ = 1
y₂ = 5

D ≥ 0
y² – 6y + 5 ≥ 0
a > 0
y ∈ (-∞; 1] ∪ [5; +∞)

a ≠ 0
y – 1 ≠ 0
y ≠ 1

Պատ․ y ∈ (-∞; 1) ∪ [5; +∞)

9. (y² – 4)x² + (y + 2)x + 2 = 0

D ≥ 0
a = y² – 4
b = y + 2
c = 2

D = b² – 4ac = (y + 2)² – 4 · (y² – 4) · 2  = (y + 2)² – 8(y – 2)(y + 2) = (y + 2)(y + 2 – 8y + 16 = (y + 2)(18 – 7y)
D = 0
(y + 2)(18 – 7y) = 0
⌈y + 2 = 0 ⇒ y = -2
⌊18 – 7y = 0 ⇒ y = ¹⁸/₇

D ≥ 0 
(y + 2)(18 – 7y) ≥ 0
a < 0
y ∈ [-2; ¹⁸/₇]
a ≠ 0
y² – 4 ≠ 0
y² ≠ 4
y ≠ ±2

Պատ․ y ∈ (-2; ¹⁸/₇] \ 2

12. yx² – 2(y – 1)x + y + 1 = 0

D > 0
a = y
b = -2(y – 1)
c = y + 1

D = b² – 4ac = (-2(y – 1))² – 4 · y · (y + 1) = (-2y + 2)² – 4y² + 4y = 4y² – 8y + 4 – 4y² + 4y = 4 – 4y
D = 0
4 – 4y = 0
4y = 4
y = 1

D > 0
y > 1

a ≠ 0
y ≠ 0

Պատ․ y ∈ (1; +∞)

16. x² + 2(y – 1)x + y² – y – 2

D > 0 
c/a > 0

a = 1
b = 2(y – 1)
c = y² – y – 2

D = b² – 4ac = (2(y – 1))² – 4(y² – y – 2) = 4(y² – 2y + 1) – 4(y² – y – 2) = 4(y² – 2y + 1 – y² + y + 2) = 4(3 – y) = 12 – 4y

D = 0
12 – 4y = 0
12 = 4y
y = 3
D > 0
y > 3

c/a = 0
y² – y – 2 = 0
a = 1, b = -1, c = -2
x₁ + x₂ = -b/a = 1
x₁x₂ = c/a = -2

x₁ = -2
x₂ = 1

a > 0
y² – y – 2 > 0
y ∈ (-∞; -2) ∪ (1; +∞)
y ∈ ((-∞; -2) ∪ (1; +∞)) ∩ (3; +∞)

Պատ․ y > 3