15.

ա) M(1, 1), N(6, 1), P(7,4), Q(2, 4)

MN = √((6 – 1)²) = √(5²) = 5
NP = √((7 – 6)² + (4 – 1)²) = √(1 + 3²) = √(1 + 9) = √10
PQ = √((2 – 7)² = √((-5)²) = 5
MQ = √((2 – 1)² + (4 – 1)²) = √(1 + 3²) =√10

MN = PQ
NP = MQ

MNPQ քառանկյան հակադիր կողմերը հավասար են, ապա MNPQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
MNPQ զուգահեռագծի անկյունագծերը NQ և MP-ն են։

NQ = √((2 – 6)² + (4 – 1)²) = √((-4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
MP = √((7 – 1)² + (4 – 1)²) = √(6² + 3²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5

բ) M(-5, 1), N(-4, 4), P(-1, 5), Q(-2, 2)

M(-5, 1), N(-4, 4), P(-1, 5), Q(-2, 2)

MN = √((-2 + 5)² + (2 – 1)²) = √(3² + 1) = √10
NP = √((-1 + 4)² + (5 – 4)²) = √(3² + 1) = √10
PQ = √((-2 + 1)² + (2 – 5)²) = √(1 + (-3)²) = √10
MQ = √((-2 + 5)² + (2 – 1)²) = √(3² + 1) = √(1 + 9) = √10

MN = PQ
NP = MQ

MNPQ քառանկյան հակադիր կողմերը հավասար են, ապա MNPQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
MNPQ զուգահեռագծի անկյունագծերը NQ և MP-ն են։

NQ = √((-2 + 4)² + (2 – 4)²) = √(2² + (-2)²) = √8 = 2√2

MP = √((-1 + 5)² + (5 – 1)²) = √(4² + 4²) = √32 = 4√2

19.

CO = 2 * DO
DO = ¹⁶⁰/₃
AD = DB = 80/2 = 40

AO² = AD² + DO²
AO² = 40² + ¹⁶⁰/₃² = 1600 + ¹⁶⁰²/_3² = 1600 + ²⁵⁶⁰⁰/₉ = 1600 + 2844 ⁴/₉ = 4444,(4)
AO = 2 * OE
OE = ^4444,(4)/₂ = 2222,(2)

AE = AO + OE = 4444,(4) + 2222,(2) = 6666,(6)
BF = AE = 6666,(6)

Պատ․ AE = BF = 6666,(6) սմ

21.

AD = BC
AM = BN
∠AMD = ∠BNC
∆AMD-ի և ∆BNC-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMD = ∆BNC

DM = NC
DN = DM + MN
MC = MN + NC
DN = MC
AM = BN
∠AMC = ∠BND
∆AMC-ի և ∆BND-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMC = ∆BND
AC = BD

Հավասարասրուն սեղանի մեջ երկու անկյունագծերը հավասար են։ Հիմա ապացուցենք, որ եթե սեղանի անկյունագծերը հավասար են, այդ սեղանը հավասարասրուն է։

AC = BD
AM = BN
∠AMC = ∠BND
∆AMC-ի և ∆BND-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMC = ∆BND

DN = MC
DN = DM + MN
MC = MN + NC
DM = NC

AM = BN
∠AMD = ∠BNC
∆AMD-ի և ∆BNC-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMD = ∆BNC
AD = BC

Սեղանը հավասարասրուն է։

ՏՆԱՅԻՆ․

16.

ա) A(-3, -1), B(1, -1), C(1, -3), D(-3, -3)

d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(4²) = 4
BC = √(2²) = 2
CD = √(4²) = 4
AD = √(2²) = 2
AC = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
BD = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

AB = CD
BC = AD
AC = BD

Քանի որ հակադիր կողմերը հավասար են և անկյունագծերը հավասար են, ABCD քառանկյունը ուղանկյուն է:

բ) A(4, 1), B(3, 5), C(-1, 4), D(0, 0)

d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(1 + 4²) = √(1 + 16) = √17
BC = √(4² + 1) = √(16 + 1) = √17
CD = √(1 + 4²) = √(1 + 16) = √17
AD = √(4² + 1) = √(16 + 1) = √17
AC = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34
BD = √(3² + 5²) = √(9 + 25) = √34

AB = CD
BC = AD
AC = BD

Քանի որ հակադիր կողմերը հավասար են և անկյունագծերը հավասար են, ABCD քառանկյունը ուղանկյուն է:

20.

d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(4² + 10²) = √(16 + 100) = √116
BC = √(10² + 10²) = √(100 + 100) = √200
AC = 4 + 10 = 14 = √196

∆ABC-ի մեջ AB-ն փոքր կողմն է։

xM = ^{xA + xB}/₂ = ⁴/₂ = 2
yM = ^{yA + yB}/₂ = ¹⁰/₂ = 5
M(2, 5)

MH-ը M կետի հեռավորությունն է AC հատվածից։
MH = 5
CH = AC – AH = 14 – |xH – xA| = 14 – 2 = 12

MC = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 սմ

22.

AB = CD = a
AD = BC = b
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAC = 90^o

AC = √(a² + b²)
BD = √(a² + b²)

AC = BD

9-ա,գ.

ա) |-2| = 2

Պատ․ 2

գ) √(3² + 2²) = √13

Պատ․ 5

10.

d_MN = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = √((12 – 4)² + (0 + 2)²) = √(8² + 2²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17
d_NP = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = √((12 – 5)² + (-2 + 9)²) = √(7² + 7²) = √(49 + 49) = √98 = 7√2
d_MP = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = √((5 – 4)² + (0 + 9)²) = √(1² + 9²) = √(1 + 81) = √82

p_MNP= 2√17 + 2√17 + √82 ≈ 27,2010913259844

Պատ․ 27,2010913259844

12.

ա) A(0, 1), B(1, -4), C(5, 2)

AB = √(1 + (1 + 4)²) = √(1 + 5²) = √(1 + 25) = √26
BC = √((5 – 1)² + (2 + 4)²) = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52
AC = √(52 + (2 – 1)²) = √(25 + 1) = √26

AB = AC ≠ BC

ΔABC-ն հավասարասրուն է։

բ) A(-4, 1), B(-2, 4), C(0, 1)

AB = √((-2 + 4)² + (4 – 1)²) = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13
BC = √(2² + (4 – 1)²) = √(4 + 3²) = √(4 + 9) = √13
AC = √(4²) = √16

AB = BC ≠ AC

ΔABC-ն հավասարասրուն է։

14.

ա) A(1, 2), B (-3, 4)

M(x, 0)

AM = BM
AM = √((1 – x)² + 4) = √(1 – 2x + x² + 4) = √(x² – 2x + 5)
BM = √((x + 3)² + 16) = √(x² + 6x + 9 + 16) = √(x² + 6x + 25)

√(x² – 2x + 5) = √(x² + 6x + 25)
x² – 2x + 5 = x² + 6x + 25
5 = 8x + 25
8x + 20 = 0
x + 2,5 = 0
x = -2,5

Պատ․ M(-2,5, 0)

Ստուգում․

AM = √(x² – 2x + 5) = √((-2,5)² + 5 + 5) = √(6,25 + 10) = √16,25
BM = √(x² + 6x + 25) = √((-2,5)2 – 15 + 25) = √(6,25 + 10) = √16,25

AM = BM

բ) C(1, 1), D(3, 5)

N(x, 0)

CN = DN
CN = √((x – 1)² + 1) = √(x² – 2x + 1 + 1) = √(x² – 2x + 2)
DN = √((x – 3)² + 25) = √(x² – 6x + 9 + 25) = √(x² – 6x + 34)

√(x² – 2x + 2) = √(x² – 6x + 34)
x² – 2x + 2 = x² – 6x + 34
2 = 34 – 4x
32 – 4x = 0
x = 8

Պատ․ N(8, 0)

Ստուգում․

CN = √(x² – 2x + 2) = √(64 – 16 + 2) = √50
DN = √(x² – 6x + 34) = √(64 – 48 + 34) = √50

CN = DN

ՏՆԱՅԻՆ․

9-բ.

բ) |3| = 3

Պատ․ 3

11.

ա) A(2, 3), B(x, 1), AB = 2

AB = 2
AB = √((x – 2)² + (1 – 3)²) = √(x² – 4x + 4 + 4) = √(x² – 4x + 8)

√(x² – 4x + 8) = 2
x² – 4x + 8 = 4
x² – 4x + 4 = 0

a = 1
b = -4
c = 4

D = b² – 4ac = 16 – 16 = 0

x = ^-b + √D/_2a

x = ^4 + 0/₂
x = ⁴/₂
x = 2

բ) M₁(-1, x), M₂(2x, 3)

M₁M₂ = 7
M₁M₂ = √((2x + 1)² + (3 – x)²) = √(4x² + 4x + 1 + 9 – 6x + x²) = √(5x² – 2x + 10)

√(5x² – 2x + 10) = 7
5x² – 2x + 10 = 49
5x² – 2x – 39 = 0

a = 5
b = -2
c = -39

D = b² – 4ac = 4 + 780 = 784

x = ^-b + √D/_2a
x = ^2 + √784/₁₀
x = ^2 + 28/₁₀
x = ^2 + 28/₁₀ = 3
x = ^2 – 28/₁₀ = –²⁶/₁₀ = –¹³/₅

Պատ․ x ∈ {-¹³/₅, 3}

13.

ա) A(-3, 5), B(6, 4)

M(0, y)

AM = BM
AM = √(9 + (5 – y)²) = √(9 + 25 – 10y + y²) = √(y² – 10y + 34)
BM = √(36 + (4 – y)²) = √(36 + 16 – 8y + y²) = √(y² – 8y + 52)

√(y² – 10y + 34) = √(y² – 8x + 52)
y² – 10y + 34 = y² – 8y + 52
-2y = 18
y = -9

Պատ․ M(0, -9)

Ստուգում․

AM = √(y² – 10y + 34) = √(81 + 90 + 34) = √205
BM = √(y² – 8x + 52) = √(81 + 72 + 52) = √205

AM = BM

բ) C(4, -3), D(8, 1)

N(0, y)

CN = DN
CN = √(16 + (y + 3)²) = √(16 + y² + 6y + 9) = √(y² + 6y + 25)
DN = √(64 + (y – 1)²) = √(64 – y² – 2y + 1) = √(y² – 2y + 65)

√(y² + 6y + 25) = √(y² – 2y + 65)
y² + 6y + 25 = y² – 2y + 65
0 = 40 – 8y
40 – 8y = 0
y = 5

Պատ․ N(0, 5)

Ստուգում․

CN = √(y² + 6y + 25) = √(25 + 30 + 25) = √80
DN = √(y² – 2y + 65) = √(25 – 10 + 65) = √80

CN = DN

Ա․ Առանձնացրե՛ք այն միտքը, որը Ձեր կարծիքով իր մեջ ներառում է ստեղծագործության հիմնական գաղափարը։ Հիմնավորե՛ք Ձեր ընտրությունը։

– Երբ ես վերականգնեցի մարդուն, շրջեցի թուղթը և տեսա, որ վերականգնել եմ աշխարհը:

Տեքստի հիմնական միտքն այն է, որ, որպեսզի վերանորոգենք աշխարհը, պետք է վերանորոգել մարդու հոգին և միասնական կերպարը։

Բ․Ընտրե՛ք ճիշտ պատասխանը․ստեղծագործության գաղափարը հետևյալլն է․
 աշխարհը նման է թղթին․այն կարելի է մասերի բաժանել
 քարտեզն ու մարդը նման են իրար․ երկուսին էլ կարելի է «պատառոտել»
☑ ճանաչիր մարդուն, կճանաչես նաև աշխարհը։

Գ․ Ինչպե՞ս դու կառաջարկես նորոգել աշխարհը։ Շարադրիր մտքերդ գրավոր։

Իմ կարծիքով, աշխարհի նորոգելը աշխարհի վիճակով չի պայմանավորված, այլ ժողովուրդների հոգեվիճակով։ Աշխարհը նորոգելու գործի առաջին քայլը մարդկանց հոգիները նորոգելն է։ Երբ ժողովուրդն ունի ընդհանուր նպատակ, հոգեպես և լիովին միավորվում է, այդ ժողովրդի միասնությունը դառնում է անխզելի։

1.

Պատ․ 3) 144

2.

72 = 2³ * 3²

Պատ․ 2) 2

3.

^{60 – 48}/₄₈ = 12/48 = 4
100/4 = 25

Պատ․ 2) 25

4.

^{60 – 48}/₆₀ = 12/60 = 5
100/5 = 20

Պատ․ 1) 20

5.

12 * ³/₄ = 9

Պատ․ 4) 9

6.

F₁₂ = {1, 2, 3, 4, 6, 12}
1 + 2 + 3 + 4 + 6 + 12 = 28

Պատ. 1) 28

7.

12 = 2² * 3
28 = 2² * 7

2² * 3 * 7 = 84

Պատ․ 3) 84

8.

¹/₅ + ²/₅ + ³/₅ + ⁴/₅ = ¹⁰/₅ = 2

Պատ․ 1) 2

9. Տրված են 6; 17; 18; 24; 29 թվերը

1.

Պատ․ 4) 2

2.

Պատ․ 3) 3

3.

⁶/₂₄ * 100% = 0,25 * 100% = 25%

Պատ․ 4) 25

4.

F₁₈ = {1, 2, 3, 6, 9, 18}
F₂₄ = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24}
n(F₁₈) = 6
n(F₂₄) = 8

Պատ․ 3) 24

11. k-ի ո՞ր արժեքների դեպքում է y = kx + b ֆունկցիան․

ա) աճող

Պատ․ k ∈ (0; +∞)

գ) նվազող

Պատ․ k ∈ (-∞; 0)

12-ա. Գտեք ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքները․

y = -|x – 2| + 2

-|x – 2| + 2 = 0
-|x – 2| = -2
|x – 2| = 2

⌈x – 2 = 2
⌊2 – x = 2

⌈x = 4
⌊x = 0

x₀ ∈ {0, 4}

Պատ․ X₁ = (-∞; 0)∪(4; +∞)
X₂ = (0; 4)

13-ա,գ,ե. Գտեք ֆունկցիայի զրոները․

ա) y = 1 – x²

1 – x² = 0
-x² = -1
x² = 1

⌈x = 1
⌊x = -1

Պատ․ x₀ ∈ {-1, 1}

գ) y = (x – 1)(x – 3)

(x – 1)(x – 3) = 0
x² – 3x – 1x + 4 = 0
x² – 4x + 4 = 0

a = 1
b = -4
c = 4

D = b² – 4ac
D = 16 – 16
D = 0

x = ^{-b + √D}/_2a
x = ^{4 + 0}/₂
x = 2

Պատ․ x₀ = 2

ե) g(x) = |2 – x|

|2 – x| = 0
2 – x = 0
x = 2

Պատ․ x₀ = 2

ՏՆԱՅԻՆ․

12-բ․ Գտեք ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքները․

y = |x + 4| – 1

|x + 4| – 1 = 0
|x + 4| = 1

⌈x + 4 = 1
⌊-x – 4 = 1

⌈x = -3
⌊-x = 5

[x = -5

x₀ ∈ {-5; -3}

Պատ․ X₁ = (-∞; -5)∪(-3; +∞)
X₂ = (-5; -3)

13-բ,դ,զ․ Գտեք ֆունկցիայի զրոները․

բ) f(x) = 2x² – x – 1

2x² – x – 1 = 0

a = 2
b = -1
c = -1

D = b² – 4ac
D = 1 + 8
D = 9

x = ^{-b + √D}/_2a
x = ^{1 + √9}/₄
x = ^{1 + 3}/₄

⌈x = ⁴/₄
⌊x = ^-2/₄

⌈x = 1
⌊x = -0,5

Պատ․ x₀ ∈ {-0,5; 1}

դ) y = ^{4x – 2}/_{3x + 1}

^{4x – 2}/_{3x + 1} = 0
4x – 2 = 0
4x = 2
x = 0,5

Պատ․ x₀ = 0,5

զ) f(x) = |3x – 1| – 5

|3x – 1| – 5 = 0
|3x – 1| = 5

⌈3x – 1 = 5
⌊1 – 3x = 5

⌈3x = 6
⌊-3x = 4

⌈x = 2
⌊x = –³/₄

Պատ․ x₀ ∈ {-³/₄; 2}

1-ա.

A (5, 0)
B (0, 3)
O (0, 0)

3.

Անկյունագծերը հատվում են կոորդինատների սկզբնակետում։
P (-3, 3)
M (3, -3)
N (-3, -3)
Q (3, 3)

Պատ․ P (-3, 3), M (3, -3), N (-3, -3), Q (3, 3)

5.

d_AB = √5² = 5
d_AB = d_CD
d_CD = 5
AB-ն և CD-ն զուգահեռ են։
x_D < x_C
D (7, -3)

7.

AB = BC
x_B = ^{x_A + x_C}/₂ = ⁵/₂ = 2,5
y_B = ^{y_A + y_C}/₂ = ^{1 – 3}/₂ = ^-2/₂ = -1
B (2,5, -1)
x_D = ^{x_B + x_C}/₂ = ^{2,5 + 5}/₂ = ^7,5/₂ = 3,75
y_D = ^{y_B + y_C}/₂ = ^{-1 – 3}/₂ = ^-4/₂ = -2
D (3,75, -2)

ՏՆԱՅԻՆ․

1-բ.

A (a, 0)
B (0, b)
O (0, 0)

2.

ա)

O (0, 0)
A (6,5, 0)
B (0, 3)
C (6,5, 3)

բ)

O (0, 0)
A (a, 0)
B (0, b)
C (a, b)

4.

A (-a, 0)
B (a, 0)
C (0, h)

8.

ա)

2

բ)

3

գ)

MO = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = √(3² +2²) = √(9 + 4) = √13

2-ա,գ,ե. Գտեք Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

ա) y = x

D(f) ∈ (-∞; +∞)

գ) y = x²

D(f) ∈ (-∞; +∞)

ե) y = ¹/_x

D(f) ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

3-ա,գ,ե. Գտեք Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

ա) y = |x|

D(f) ∈ (-∞; +∞)

գ) y = (x – 2)²

D(f) ∈ (-∞; +∞)

ե) y = ^|x|/_x

D(f) ∈ (-∞; 0) ∪ (0; +∞)

4-ա,գ,ե. Գտեք Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

ա) y = √x-1

D(f) ∈ [1; +∞)

գ) y = √2x-1

D(f) ∈ [0,5; +∞)

ե) y = ¹/_√3x-5

D(f) ∈ (1 ²/₃; +∞)

5-ա,գ. Գտեք ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը․

ա) f(x) = 2x, x ∈ [-1; 1]

2 * -1 = -2
2 * 1 = 2
E(f) ∈ [-2; 2]

գ) g(x) = x², x ∈ [0; 2]

0² = 0
2² = 4

E(f) ∈ [0; 4]

ՏՆԱՅԻՆ․

2-բ,դ,զ. Գտեք Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

բ) y = 3x – 7

D(f) ∈ (-∞; +∞)

դ) y = 3x² – 6x + 1

D(f) ∈ (-∞; +∞)

զ) y = ⁴/_{x – 1} + 2

D(f) ∈ (-∞; 1) ∪ (1; +∞)

3-բ,դ,զ. Գտեք Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

բ) y = |x – 2|

D(f) ∈ (-∞; +∞)

դ) y = ^{x2 – 1}/_{x + 1}

D(f) ∈ (-∞; -1) ∪ (-1; +∞)

զ) y = ⁵/_{|x| – 2}

D(f) ∈ (-∞; -2) ∪ (-2; 2) ∪ (2; +∞)

4-բ,դ,զ. Գտեք Ֆունկցիայի որոշման տիրույթը․

բ) y = √(x+1)

D(f) ∈ [-1; +∞)

դ) y = ^{x2 – 9}/_{x² – 4}

D(f) ∈ (-∞; -2) ∪ (-2; 2) ∪ (2; +∞)

զ) y = ^{x2 + x}/_{x + 4}

D(f) ∈ (-∞; -4) ∪ (-4; +∞)

5-բ,դ. Գտեք ֆունկցիայի արժեքների տիրույթը․

բ) y = 3x + 2, x ∈ [-4; 0]

3 * -4 + 2 = -12 + 2 = -10
3 * 0 + 2 = 2

E(f) ∈ [-10; 2]

դ) y = |x| – 1, x ∈ [-2; 2]

|-2| – 1 = 2 – 1 = 1
|2| – 1 = 2 – 1 = 1

E(f) = {1}

1. x² – 4x + 2 = 0

a = 1
b = -4
c = 2

D = b² – 4ac = (-4)² – 8 = 16 – 4 = 8

x = ^{-b + √D}/_2ac
^{-b + √8}/_2ac = ^{4 + √8}/₄ = ^{4 + 2√2}/₄ = 1 + 0,5√2
^{-b – √8}/_2ac = ^{4 – √8}/₄ = ^{4 – 2√2}/₄ = 1 – 0,5√2
Պատ․ x = 1 + 0,5√2

2. /4x – 6 > 7
\8 – 5x > 4 – 3x

+6 |/4x > 13
+3x |\8 – 2x > 4

/4 |/x > 3,25
-8 |\-2x > -4

/-2 |x < 2

/x > 3,25
\x < 2

Պատ․ x ∈ ∅