Հանրահաշիվ

ա) f(x) = x + sin x
f(x)-ը x և sin x տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար f(x)-ը տարրական է։
D(f) = (-∞; +∞)

բ) f(x) = (cos (x – 1))/sin x
f(x) ֆունկցիան cos x և x – 1 տարրական ֆունկցիաների համադրույթի և sin x տարրական ֆունկցիայի քանորդն է:
sin x ≠ 0 ⇒ x ≠ 0 + πk ⇒ D (f) = ℝ \ 0 + πk

գ) f(x) = ln(x + 1) – 1/x = ln (x + 1) – x^-1
f(x) ֆունկցիան ln x և x + 1 տարրական ֆունկցիաների համադրույթի և x^-1 տարրական ֆունկցիայի տարբերությունն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։x + 1 > 0 ⇒ x > -1
x ≠ 0 ⇒ D(f) = (−1; 0) ∪ (0; +∞)

դ) f(x) = arccos(x + 2)
f(x) ֆունկցիան arccos x և x + 2 տարրական ֆունկցիաների համադրույթն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
-1 ≤ x + 2 ≤ 1
-3 ≤ x ≤ –1 ⇒ D(f) = [-3; -1]

ա) f(x) = sin((x + 1)/(x – 1)) + ln x
sin((x + 1)/(x – 1)) ֆունկցիան x + 1 և x – 1 տարրական ֆունկցիաների քանորդի և sin x տարրական ֆունկցիայի համադրույթն է, հետևաբար sin((x + 1)/(x – 1)) ֆունկցիան տարրական է։
f(x) ֆունկցիան sin((x + 1)/(x – 1)) և ln x տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
x > 0, x – 1 ≠ 0 ⇒ x ≠ 1
D(f) = (0; 1) ∪ (1; +∞)

բ) f(x) = e^{x + 5} + (cos(arcsin x))/x
e^{x + 5} ֆունկցիան e^x և x + 5 տարրական ֆունկցիաների համադրույթն է, հետևաբանար e^{x + 5} ֆունկցիան տարրական է։
(cos(arcsin x))/x ֆունկցիան cos x և arcsin x տարրական ֆունկցիաների համադրույթի և x տարրական ֆունկցիայի քանորդն է, հետևաբար (cos(arcsin x))/x ֆունկցիան տարրական է։
f(x) ֆունկցիան e^{x + 5} և (cos(arcsin x))/x տարրական ֆունկցիաների գումարն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
arcsin x ⇒ x ∈ [-1; 1]
x ≠ 0 ⇒ D(f) = (-1; 0) ∪ (0; 1)

գ) f(x) = log_x(x + 1)
f(x) ֆունկցիան կազմված է log_x և x + 1 տարրական ֆունկցիաների համադրույթից, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
log_x ⇒ x > 0, x ≠ 1
D(f) = (0; 1) ∪ (1; +∞)

դ) f(x) = tg ln x
f(x) ֆունկցիան tg x և ln x տարրական ֆունկցիաների համադրույթն է, հետևաբար f(x) ֆունկցիան տարրական է։
x > 0, x ≠ 1 ⇒ D(f) = (0; 1) ∪ (1; +∞)

ա) $x^3 + 5x^2 – 7 = 0, [1;2]$
x = 1 ⇒ $x^3 + 5x^2 – 7 = -1$
x = 2 ⇒ $x^3 + 5x^2 – 7 = 21$
D(f) = ℝ ⇒ [1; 2] միջակայքում $x^3 + 5x^2 – 7$ ֆունկցիան անընդհատ է։
$-1<0$ և $21 >0$ ⇒ [1; 2] միջակայքում գոնե մի հատ արմատ կա։

բ) $x^4 + 6x^3 – 1= 0, [0; 1]$
x = 0 ⇒ $x^4 + 6x^3 – 1= -1$
x = 1 ⇒ $x^4 + 6x^3 – 1 = 6$
D(f) = ℝ ⇒ [0; 1] միջակայքում $x^4 + 6x^3 – 1$ ֆունկցիան անընդհատ է։
$-1<0$ և $6 >0$ ⇒ [0; 1] միջակայքում գոնե մի հատ արմատ կա։

գ) $2 cos x – x = 0, [0;\frac{\pi}{2}]$
x = 0 ⇒ $2cosx – x = 2$
x = $\frac{\pi}{2}$ ⇒ $2cosx – x = -\frac{\pi}{2}$
D(f) = ℝ ⇒ $[0;\frac{\pi}{2}]$ միջակայքում $2cosx – x$ ֆունկցիան անընդհատ է։
$2 >0$ և $-\frac{\pi}{2} < 0$ ⇒ $[0;\frac{\pi}{2}]$ միջակայքում գոնե մի հատ արմատ կա։

դ) $ln(x +5)-5x = 0, [-4; 4]$
x = -4 ⇒ $ln(x +5)-5x = 20$
x = 4 ⇒ $ln(x +5)-5x = ln13 – 20$
x + 5 > 0 ⇒ x > -5
D(f) = (-5; +∞) ⇒ $[-4; 4]$ միջակայքում $ln(x +5)-5x$ ֆունկցիան անընդհատ է։
$20 >0$ և $ln13-20< 0$ ⇒ $[-4; 4]$ միջակայքում գոնե մի հատ արմատ կա։

Երկրաչափություն

1. 48/6 = 8 սմ
Պատ․ 3) 8 սմ

2. <ABC = 180° – 360°/6 = 180° – 60° = 120°
AC = √(AB² + BC² – 2·AB·BC·cos 120°) = √(192) = 8√3 սմ
Պատ․ 1) 8√3 սմ

3. <MOA = 360°/12 = 30°
AM = 4
tan <MOA = AM/OM ⇒ r = OM = 4/(√3/3) = 4√3 սմ
Պատ․ 2) 4√3 սմ

4. S_OMA = bh/2 = 4·4√3/2 = 8√3
S_ABCDEF = 12 · S_OMA = 96√3 սմ
Պատ․ 2) 96√3 սմ

1. 180° · (n – 2) = 720°
n – 2 = 4
n = 6
Պատ․ 2) 6

2. AM = AF/2 = 6/2 = 3 սմ
<MOA = <MOA = 360°/12 = 30°
OA = AM/sin <MOA = 3/sin 30° = 3/0,5 = 6 սմ
Պատ․ 3) 6 սմ

3. <MOA = <MOA = 360°/12 = 30°
AM = AF/2 = 6/2 = 3 սմ
tan <MOA = AM/OM ⇒ r = OM = 3/(√3/3) = 3√3 սմ
Պատ․ 4) 3√3 սմ

4. S_OMA = bh/2 = 3·3√3/2 = 9/2 · √3
S_ABCDEF = 2 · 6 · S_OMA = 54√3 սմ
Պատ․ 3) 54√3 սմ

1. AB-ն շրջանագծ տրամագիծն է և C-ն գտնվում էր շրջանագծի վրա, հետևաբար <ACB = 90°
Պատ․ 4) 90°

2. r = AB/2 = 10/2 = 5 սմ
AO = OC = AC = 5սմ ⇒ <AOC = 60°
<BOC + <AOC = 180° ⇒ <BOC = 180° – 60° = 120°
Պատ․ 3) 120°

3. C = 2πr = 10π սմ
Պատ․ 2) 10π սմ

4. <AOC = 60°
CM ⊥ AB
sin <AOC = CM/OC ⇒ CM = OC · sin 60° = 5 · √3/2 = 2,5√3 սմ
Պատ․ 4) 2,5√3 սմ