15.
ա) M(1, 1), N(6, 1), P(7,4), Q(2, 4)
MN = √((6 – 1)2) = √(52) = 5
NP = √((7 – 6)2 + (4 – 1)2) = √(1 + 32) = √(1 + 9) = √10
PQ = √((2 – 7)2 = √((-5)2) = 5
MQ = √((2 – 1)2 + (4 – 1)2) = √(1 + 32) =√10
MN = PQ
NP = MQ
MNPQ քառանկյան հակադիր կողմերը հավասար են, ապա MNPQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
MNPQ զուգահեռագծի անկյունագծերը NQ և MP-ն են։
NQ = √((2 – 6)2 + (4 – 1)2) = √((-4)2 + 32) = √(16 + 9) = √25 = 5
MP = √((7 – 1)2 + (4 – 1)2) = √(62 + 32) = √(36 + 9) = √45 = 3√5
բ) M(-5, 1), N(-4, 4), P(-1, 5), Q(-2, 2)
M(-5, 1), N(-4, 4), P(-1, 5), Q(-2, 2)
MN = √((-2 + 5)2 + (2 – 1)2) = √(32 + 1) = √10
NP = √((-1 + 4)2 + (5 – 4)2) = √(32 + 1) = √10
PQ = √((-2 + 1)2 + (2 – 5)2) = √(1 + (-3)2) = √10
MQ = √((-2 + 5)2 + (2 – 1)2) = √(32 + 1) = √(1 + 9) = √10
MN = PQ
NP = MQ
MNPQ քառանկյան հակադիր կողմերը հավասար են, ապա MNPQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
MNPQ զուգահեռագծի անկյունագծերը NQ և MP-ն են։
NQ = √((-2 + 4)2 + (2 – 4)2) = √(22 + (-2)2) = √8 = 2√2
MP = √((-1 + 5)2 + (5 – 1)2) = √(42 + 42) = √32 = 4√2
19.
CO = 2 * DO
DO = 160/3
AD = DB = 80/2 = 40
AO2 = AD2 + DO2
AO2 = 402 + 160/32 = 1600 + 1602/32 = 1600 + 25600/9 = 1600 + 2844 4/9 = 4444,(4)
AO = 2 * OE
OE = 4444,(4)/2 = 2222,(2)
AE = AO + OE = 4444,(4) + 2222,(2) = 6666,(6)
BF = AE = 6666,(6)
Պատ․ AE = BF = 6666,(6) սմ
21.
AD = BC
AM = BN
∠AMD = ∠BNC
∆AMD-ի և ∆BNC-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMD = ∆BNC
DM = NC
DN = DM + MN
MC = MN + NC
DN = MC
AM = BN
∠AMC = ∠BND
∆AMC-ի և ∆BND-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMC = ∆BND
AC = BD
Հավասարասրուն սեղանի մեջ երկու անկյունագծերը հավասար են։ Հիմա ապացուցենք, որ եթե սեղանի անկյունագծերը հավասար են, այդ սեղանը հավասարասրուն է։
AC = BD
AM = BN
∠AMC = ∠BND
∆AMC-ի և ∆BND-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMC = ∆BND
DN = MC
DN = DM + MN
MC = MN + NC
DM = NC
AM = BN
∠AMD = ∠BNC
∆AMD-ի և ∆BNC-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMD = ∆BNC
AD = BC
Սեղանը հավասարասրուն է։
ՏՆԱՅԻՆ․
16.
ա) A(-3, -1), B(1, -1), C(1, -3), D(-3, -3)
d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(4²) = 4
BC = √(2²) = 2
CD = √(4²) = 4
AD = √(2²) = 2
AC = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
BD = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
AB = CD
BC = AD
AC = BD
Քանի որ հակադիր կողմերը հավասար են և անկյունագծերը հավասար են, ABCD քառանկյունը ուղանկյուն է:
բ) A(4, 1), B(3, 5), C(-1, 4), D(0, 0)
d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(1 + 4²) = √(1 + 16) = √17
BC = √(4² + 1) = √(16 + 1) = √17
CD = √(1 + 4²) = √(1 + 16) = √17
AD = √(4² + 1) = √(16 + 1) = √17
AC = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34
BD = √(3² + 5²) = √(9 + 25) = √34
AB = CD
BC = AD
AC = BD
Քանի որ հակադիր կողմերը հավասար են և անկյունագծերը հավասար են, ABCD քառանկյունը ուղանկյուն է:
20.
d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(4² + 10²) = √(16 + 100) = √116
BC = √(10² + 10²) = √(100 + 100) = √200
AC = 4 + 10 = 14 = √196
∆ABC-ի մեջ AB-ն փոքր կողմն է։
xM = xA + xB/2 = 4/2 = 2
yM = yA + yB/2 = 10/2 = 5
M(2, 5)
MH-ը M կետի հեռավորությունն է AC հատվածից։
MH = 5
CH = AC – AH = 14 – |xH – xA| = 14 – 2 = 12
MC = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 սմ
22.
AB = CD = a
AD = BC = b
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAC = 90o
AC = √(a² + b²)
BD = √(a² + b²)
AC = BD
Դավիթ Ապիտոնյան 