1. Կարդա’ պատմվածքը։

3. Գրի’ր քո մտքերը պատերազմի մասին։

Իմ կարծիքով, պատերազմները լավ չեն, սակայն նաև անխուսափելի են և ժամանակ առ ժամանակ պետք է լինեն, քանի որ աշխարհի բոլոր պետությունների միջև մշտական խաղաղությունը երազանք է։

4. Վերլուծի’ր պատմվածքը։ Ի՞նչ մտքեր և զգացումներ առաջացրեց։

Իմ կարծիքով, այս պատմվածքը այն տգետ մարդկանց մասին է, որոնց համար հանգիստ և ուրախ լինելը իրականությունից ավելի կարևոր է, անկախ թե դա իրենց կյանքի վրա ազդում է, թե ոչ։

24-ա,գ,ե.

ա) x² + y² = 9

r² = 9
r = 3

xO = 0
yO = 0

O (-5; 3)

գ) (x + 5)² + (y – 3)² = 25

r² = 25
r = 5

xO = -5
yO = 3

O (-5; 3)

ե) x² + (y + 2)² = 16

r² = 16
r = 4

xO = 0
yO = -2

O (0; -2)

---

25-ա,գ.

A (3; -4), B (1; 0), C (0; 5), D (0; 0), E (0; 1)

ա) x² + y² = 25

3² + (-4)² = 9 + 16 = 25
0 + 1² = 1
0 + 5² = 25
0 = 0
1² + 0 = 1

Պատ․ {A, C)

գ) (x – ¹/₂)² + y² = ¹/₄

(⁵/₂)² + (-4)² = 9 + 16 = 25
(¹/₂)² = ¹/₄
5² = 25
(-¹/₂)² = ¹/₄
1² = 1

Պատ․ {B, D}

---

27.

A(3; 4), B(4; -3)
Առաջինը ապացուցենք, որ A և B կետերը պատկանում են x² + y² = 25 շրջանագծին:
3² + 4² = 9 + 16 = 25
4² + (-3)² = 16 + 9 = 25

Կետերը շրջանագծին պատկանում են, հիմա ապացուցենք, որ AB-ն շրջանագծի տրամագիծը չէ։
Շրջանագծի հավասարումը x² + y² = r² ձևով է լինում։
r² = 25:
r = √25 = 5:
2r = 10:
Տրամագծի երկարությունը 10 է։

AB = √((Δx)² + (Δy)²) = √((3 – 4)² + (3 + 3)²) = √(1 + 9²) = √(1 + 81) = √82
A և B կետերը պատկանում են շրջանագծին։
AB ≠ 10:
AB-ն շրջանագծի լարն է։

---

ՏՆԱՅԻՆ․

---

24-բ,դ.

բ) (x – 1)² + (y + 2)² = 4

r² = 4
r = √4 = 2

xO = 1
yO = -2

O(1; -2)

դ) (x – 1)² + y² = 4

r² = 4
r = √4 = 2

xO = 1
yO = 0

O(1; 0)

---

25-բ.

A (3; -4), B (1; 0), C (0; 5), D (0; 0), E (0; 1)

(x – 1)² + (y + 3)² = 9

(3 – 1)² + (3 – 4)² = 2² + (-1)² = 4 + 1 = 5
(1 – 1)² + 3² = 3² = 9
(-1)² + (5 + 3)² = 1 + 8² = 1 + 64 = 65
(-1)² + 3² = 1 + 9 = 10
(-1)² + 4² = 1 + 16 = 17

Պատ․ {B}

---

28.

ա) x = -4

x² + y² = 25
(-4)² + y² = 25
16 + y² = 25
y² = 9
y = √9

y = ±3

Պատ․ {(-4; -3), (-4; 3)}

բ) y = 3

x² + y² = 25
x² + 3² = 25
x² + 9 = 25
x² = 16
x = √16
x = ±4

Պատ․ {(-4; 3), (4; 3)}

Այս դեպքը եղել է մեծ իսլամական խալիֆ Օմարի ժամանակ: Նա պայքարում էր իր թշնամու դեմ մոտ 30 տարի: Թշնամին հզոր էր, և պայքարը տևեց մի ամբողջ կյանք: Վերջապես եկավ բարենպաստ պահը. թշնամին ընկավ ձիուց, Օմարը ծնկեց թշնամու վրա՝ նիզակը ձեռքին: Մի վայրկյան, և նիզակը կմխրճվեր թշնամու կուրծքը, և ամնե ինչ կավարտվեր: Բայց այդ պահին ահա թե ինչ կատարվեց. թշնամին թքեց Օմարի դեմքին, և նիզակը օդի մեջ քարացավ:
Օմարը ձեռքով մաքրեց դեմքը, ոտքի կանգնեց և ասաց.
— Վաղը մենք ամեն ինչ նորից կսկսենք:
Թշնամին ապշահար էր:
— Ի՞նչ պատահեց,-հարցրեց նա:- Ես 30 տարի այսպիսի պահի եմ սպասել, հուսալով, որ մի օր նիզակս կուրծքդ կխրեմ, և ամեն ինչ կվերջանա: Իմ բախտն այդպես էլ չբերեց, բայց քոնն ահա բերել է: Մի վայկյանում դու կարող էիր ամեն ինչ վերջացնել: Ի՞նչ եղավ քեզ:
Օմարը պատախանեց.
— Մեր պատերազմը սովորական պատերազմ չի եղել: Ես երդվել էի, որ պայքարելու եմ առանց ներքին զայրույթի: 30 տարվա ընթացքում ես պայքարել եմ առանց բարկության:
Իսկ հիմա մեջս կատաղություն բարձրացավ: Երբ դու դեմքիս թքեցիր, հանկարծ այս ամենը անձնային դարձավ: Ես ցանկացա քեզ սպանել. դա իմ Եսից եկող ցանկություն էր: Մինչև այս պահը, 30 տարիների ընթացքում, երբեք այդպիսի խնդիր չեմ ունեցել: Մեր պայքարի
պատճառն այլ էր: Դու իմ թշնամին չես եղել. մեր կռիվը երբեք անձնային չի եղել: Ես չեմ ցանկացել քեզ սպանել , ես ուզել եմ գործը հաղթական ավարտի հասցնել: Իսկ հիմա մի պահ ես մոռացա իմ խնդիրը. դու դարձար իմ թշնամին, և ես ցանկացա ոչնչացնել քեզ:
Ահա թե ինչու ես չեմ կարող քեզ սպանել: Մի խոսքով, վաղվանից նորից սկսում ենք:
Բայց պատերազմն այդպես էլ չվերսկսվեց: Թշնամին այլևս նույնը չէր:
— Սովորեցրու ինձ: Դարձիր իմ ուսուցիչը և հնարավորություն տուր ինձ աշակերտելու քեզ: Ես էլ եմ ուզում կռվել առանց զայրույթի:
Իսկ գաղտնիքը սա է. պայքարեք՝ մի կողմ թողնելով ձեր Եսը: Եվ եթե դուք կարողանաք կռիվ տալ առանց ներքին կատաղության, ուրեմն դուք ամեն ինչ անանձնային կարող եք անել, քանի որ բախումը ամենաշատն է շոշափում մարդու Եսը: Եթե դուք դա անեք, դուք կդառնաք ամենակարող:
Բայց հիմա դուք չեք կարողանում մինչև անգամ անանձնական սիրով սիրել:

Ա․ Քննարկե՛ք հետևյալ հատվածները.

Պայքարեք՝ մի կողմ թողնելով ձեր Եսը: Եվ եթե դուք կարողանաք կռիվ տալ առանց ներքին կատաղության, ուրեմն դուք ամեն ինչ անանձնային կարող եք անել, քանի որ բախումը ամենաշատն է շոշափում մարդու Եսը: Եթե դուք դա անեք, դուք կդառնաք ամենակարող:

Պայքարը լինում է մի պատճառի կամ նպատակի համար, և եթե չդարձնեք պայքարը անձնական, այլ աշխատեք որ չպայքարեք ձեր համար, այլ ձեր նպատակի։


Բայց հիմա դուք չեք կարողանում մինչև անգամ անանձնական սիրով սիրել:

Սեր պետք է լինի անանձնային։ Երբ մեկին սիրում ես, պետք է մտածում ոչ թե քո ուզածի մասին, այլ նրանց։

Բ․ Դո՛ւրս գրեք և մեկնաբանե՛ք այն հատվածը, որտեղ ասվում է, թե ինչո՞ւ Օմարը չսպանեց թշնամուն:

Երբ դու դեմքիս թքեցիր, հանկարծ այս ամենը անձնային դարձավ: Ես ցանկացա քեզ սպանել. դա իմ Եսից եկող ցանկություն էր: Մինչև այս պահը, 30 տարիների ընթացքում, երբեք այդպիսի խնդիր չեմ ունեցել: Մեր պայքարի պատճառն այլ էր: Դու իմ թշնամին չես եղել. մեր կռիվը երբեք անձնային չի եղել:

Պայքարի ընթացքում պետք է չկատաղղել, որովհետև երբ դարձնում ես անձնային, պայքարը վերածվում է թշնամանքի։

Գ․ Բացատրե՛ք ստեղծագոծության վերնագիրը։

Վերնագիրը արտահայտում է, որ պետք է պայքարել հանգիստ, հանդարտ, և առանց ներվայնանալու։

11. k-ի որ արժեքների դեպքում է y = kx + b ֆունկցիան․

ա) աճող

k > 0

բ) նվազող

k < 0

---

12-ա. Գտեք ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը․

y = -|x – 2| + 2

y = 0
-|x – 2| + 2 = 0
-|x – 2| = -2
|x – 2| = 2

⌈x – 2 = 2
⌊x – 2 = -2

⌈x = 4
⌊x = 0

x₀ ∈ {0, 4}

եթե x ∈ (-∞; 0) ∪ (4; +∞), f(x) < 0
եթե x ∈ (0; 4), f(x) > 0

Պատ․ (0; 4) y > 0, (-∞; 0) ∪ (4; +∞) y < 0

---

13-ա,գ,ե. Գտեք ֆունկցիայի զրոները․

ա) y = 1 – x²

y = 0, 1 – x² = 0
x² = 1

x = √1
x = ±1

Պատ․ x₀ ∈ {-1, 1}

գ) y = (x – 1)(x – 3)

y = x² – 3x – x + 3 = x² – 4x + 3

x² – 4x + 3 = 0
a = 1
b = -4
c = 3

D = b² – 4ac
D = 16 – 12
D = 4

x = ^{-b ± √D}/_2ac
x = ^{4 ± √4}/₆

⌈x = ^{4 + √4}/₆
⌊x = ^{4 – √4}/₆

⌈x = ^{4 + 2}/₆
⌊x = ^{4 – 2}/₆

⌈x = ⁶/₆
⌊x = ²/₆

⌈x = 1
⌊x = ¹/₃

Պատ․ x₀ ∈ {¹/₃, 1}

ե) g(x) = |2 – x|

y = 0, |2 – x| = 0

⌈2 – x = 0
⌊2 – x = 0

[x = 2

Պատ. x₀ ∈ {2}

---

ՏՆԱՅԻՆ․

---

12-բ. Գտեք ֆունկցիայի նշանապահպանման միջակայքերը․

y = |x + 4| – 1

y = 0, |x + 4| – 1 = 0

|x + 4| = 1

⌈x + 4 = 1
⌊x + 4 = -1

⌈x = -3
⌊x = -5

x0 ∈ {-5, -3}

եթե x ∈ (-∞; -3) ∪ (-5; +∞), f(x) > 0
եթե x ∈ (-5; -3), f(x) < 0

Պատ․ (-5; -3) y > 0, (-∞; -3) ∪ (-5; +∞) y < 0

---

13-բ,դ,զ. Գտեք ֆունկցիայի զրոները․

բ) f(x) = 2x² – x – 1

y = 0, 2x² – x – 1 = 0

a = 2
b = -1
c = -1

D = b2 – 4ac
D = 1 + 8
D = 9

x = ^{-b ± √D}/_2ac
x = ^{1 ± √9}/_-4
x = ^{1 ± 3}/_-4

⌈x = ^{1 + 3}/_-4
⌊x = ^{1 – 3}/_-4

⌈x = ⁴/_-4
⌊x = ^-2/_-4

⌈x = -1
⌊x = ¹/₂

Պատ․ x₀ ∈ {-1, ¹/₂}

դ) y = ^{4x – 2}/_{3x + 1}

y = 0, ^{4x – 2}/_{3x + 1} = 0

⌈4x – 2 = 0
⌊3x + 1 = 0

⌈4x = 2
⌊3x = -1

⌈x = 0,5
⌊x = –¹/₃

Պատ․ x₀ ∈ {-¹/₃, 0,5}

զ) f(x) = |3x – 1| – 5

y = 0, |3x – 1| – 5 = 0

|3x – 1| = 5

⌈3x – 1 = 5
⌊3x – 1 = -5

⌈3x = 6
⌊3x = -4

⌈x = 2
⌊x = -1 ¹/₃

Պատ․ x₀ ∈ {-1 ¹/₃, 2}

15.

ա) M(1, 1), N(6, 1), P(7,4), Q(2, 4)

MN = √((6 – 1)²) = √(5²) = 5
NP = √((7 – 6)² + (4 – 1)²) = √(1 + 3²) = √(1 + 9) = √10
PQ = √((2 – 7)² = √((-5)²) = 5
MQ = √((2 – 1)² + (4 – 1)²) = √(1 + 3²) =√10

MN = PQ
NP = MQ

MNPQ քառանկյան հակադիր կողմերը հավասար են, ապա MNPQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
MNPQ զուգահեռագծի անկյունագծերը NQ և MP-ն են։

NQ = √((2 – 6)² + (4 – 1)²) = √((-4)² + 3²) = √(16 + 9) = √25 = 5
MP = √((7 – 1)² + (4 – 1)²) = √(6² + 3²) = √(36 + 9) = √45 = 3√5

բ) M(-5, 1), N(-4, 4), P(-1, 5), Q(-2, 2)

M(-5, 1), N(-4, 4), P(-1, 5), Q(-2, 2)

MN = √((-2 + 5)² + (2 – 1)²) = √(3² + 1) = √10
NP = √((-1 + 4)² + (5 – 4)²) = √(3² + 1) = √10
PQ = √((-2 + 1)² + (2 – 5)²) = √(1 + (-3)²) = √10
MQ = √((-2 + 5)² + (2 – 1)²) = √(3² + 1) = √(1 + 9) = √10

MN = PQ
NP = MQ

MNPQ քառանկյան հակադիր կողմերը հավասար են, ապա MNPQ քառանկյունը զուգահեռագիծ է։
MNPQ զուգահեռագծի անկյունագծերը NQ և MP-ն են։

NQ = √((-2 + 4)² + (2 – 4)²) = √(2² + (-2)²) = √8 = 2√2

MP = √((-1 + 5)² + (5 – 1)²) = √(4² + 4²) = √32 = 4√2

---

19.

CO = 2 * DO
DO = ¹⁶⁰/₃
AD = DB = 80/2 = 40

AO² = AD² + DO²
AO² = 40² + ¹⁶⁰/₃² = 1600 + ¹⁶⁰²/_3² = 1600 + ²⁵⁶⁰⁰/₉ = 1600 + 2844 ⁴/₉ = 4444,(4)
AO = 2 * OE
OE = ^4444,(4)/₂ = 2222,(2)

AE = AO + OE = 4444,(4) + 2222,(2) = 6666,(6)
BF = AE = 6666,(6)

Պատ․ AE = BF = 6666,(6) սմ

---

21.

AD = BC
AM = BN
∠AMD = ∠BNC
∆AMD-ի և ∆BNC-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMD = ∆BNC

DM = NC
DN = DM + MN
MC = MN + NC
DN = MC
AM = BN
∠AMC = ∠BND
∆AMC-ի և ∆BND-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMC = ∆BND
AC = BD

Հավասարասրուն սեղանի մեջ երկու անկյունագծերը հավասար են։ Հիմա ապացուցենք, որ եթե սեղանի անկյունագծերը հավասար են, այդ սեղանը հավասարասրուն է։

AC = BD
AM = BN
∠AMC = ∠BND
∆AMC-ի և ∆BND-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMC = ∆BND

DN = MC
DN = DM + MN
MC = MN + NC
DM = NC

AM = BN
∠AMD = ∠BNC
∆AMD-ի և ∆BNC-ի երկու կողմերը և մի անկյունը հավասար են։
∆AMD = ∆BNC
AD = BC

Սեղանը հավասարասրուն է։

---

ՏՆԱՅԻՆ․

---

16.

ա) A(-3, -1), B(1, -1), C(1, -3), D(-3, -3)

d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(4²) = 4
BC = √(2²) = 2
CD = √(4²) = 4
AD = √(2²) = 2
AC = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5
BD = √(4² + 2²) = √(16 + 4) = √20 = 2√5

AB = CD
BC = AD
AC = BD

Քանի որ հակադիր կողմերը հավասար են և անկյունագծերը հավասար են, ABCD քառանկյունը ուղանկյուն է:

բ) A(4, 1), B(3, 5), C(-1, 4), D(0, 0)

d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(1 + 4²) = √(1 + 16) = √17
BC = √(4² + 1) = √(16 + 1) = √17
CD = √(1 + 4²) = √(1 + 16) = √17
AD = √(4² + 1) = √(16 + 1) = √17
AC = √(5² + 3²) = √(25 + 9) = √34
BD = √(3² + 5²) = √(9 + 25) = √34

AB = CD
BC = AD
AC = BD

Քանի որ հակադիր կողմերը հավասար են և անկյունագծերը հավասար են, ABCD քառանկյունը ուղանկյուն է:

---

20.

d = √((Δx)² + (Δy)²)
AB = √(4² + 10²) = √(16 + 100) = √116
BC = √(10² + 10²) = √(100 + 100) = √200
AC = 4 + 10 = 14 = √196

∆ABC-ի մեջ AB-ն փոքր կողմն է։

xM = ^{xA + xB}/₂ = ⁴/₂ = 2
yM = ^{yA + yB}/₂ = ¹⁰/₂ = 5
M(2, 5)

MH-ը M կետի հեռավորությունն է AC հատվածից։
MH = 5
CH = AC – AH = 14 – |xH – xA| = 14 – 2 = 12

MC = √(12² + 5²) = √(144 + 25) = √169 = 13 սմ

---

22.

AB = CD = a
AD = BC = b
∠ABC = ∠BCD = ∠CDA = ∠DAC = 90^o

AC = √(a² + b²)
BD = √(a² + b²)

AC = BD

9-ա,գ.

ա) |-2| = 2

Պատ․ 2

գ) √(3² + 2²) = √13

Պատ․ 5

---

10.

d_MN = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = √((12 – 4)² + (0 + 2)²) = √(8² + 2²) = √(64 + 4) = √68 = 2√17
d_NP = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = √((12 – 5)² + (-2 + 9)²) = √(7² + 7²) = √(49 + 49) = √98 = 7√2
d_MP = √((x₂ – x₁)² + (y₂ – y₁)²) = √((5 – 4)² + (0 + 9)²) = √(1² + 9²) = √(1 + 81) = √82

p_MNP= 2√17 + 2√17 + √82 ≈ 27,2010913259844

Պատ․ 27,2010913259844

---

12.

ա) A(0, 1), B(1, -4), C(5, 2)

AB = √(1 + (1 + 4)²) = √(1 + 5²) = √(1 + 25) = √26
BC = √((5 – 1)² + (2 + 4)²) = √(4² + 6²) = √(16 + 36) = √52
AC = √(52 + (2 – 1)²) = √(25 + 1) = √26

AB = AC ≠ BC

ΔABC-ն հավասարասրուն է։

բ) A(-4, 1), B(-2, 4), C(0, 1)

AB = √((-2 + 4)² + (4 – 1)²) = √(2² + 3²) = √(4 + 9) = √13
BC = √(2² + (4 – 1)²) = √(4 + 3²) = √(4 + 9) = √13
AC = √(4²) = √16

AB = BC ≠ AC

ΔABC-ն հավասարասրուն է։

---

14.

ա) A(1, 2), B (-3, 4)

M(x, 0)

AM = BM
AM = √((1 – x)² + 4) = √(1 – 2x + x² + 4) = √(x² – 2x + 5)
BM = √((x + 3)² + 16) = √(x² + 6x + 9 + 16) = √(x² + 6x + 25)

√(x² – 2x + 5) = √(x² + 6x + 25)
x² – 2x + 5 = x² + 6x + 25
5 = 8x + 25
8x + 20 = 0
x + 2,5 = 0
x = -2,5

Պատ․ M(-2,5, 0)

Ստուգում․

AM = √(x² – 2x + 5) = √((-2,5)² + 5 + 5) = √(6,25 + 10) = √16,25
BM = √(x² + 6x + 25) = √((-2,5)2 – 15 + 25) = √(6,25 + 10) = √16,25

AM = BM

բ) C(1, 1), D(3, 5)

N(x, 0)

CN = DN
CN = √((x – 1)² + 1) = √(x² – 2x + 1 + 1) = √(x² – 2x + 2)
DN = √((x – 3)² + 25) = √(x² – 6x + 9 + 25) = √(x² – 6x + 34)

√(x² – 2x + 2) = √(x² – 6x + 34)
x² – 2x + 2 = x² – 6x + 34
2 = 34 – 4x
32 – 4x = 0
x = 8

Պատ․ N(8, 0)

Ստուգում․

CN = √(x² – 2x + 2) = √(64 – 16 + 2) = √50
DN = √(x² – 6x + 34) = √(64 – 48 + 34) = √50

CN = DN

---

ՏՆԱՅԻՆ․

---

9-բ.

բ) |3| = 3

Պատ․ 3

---

11.

ա) A(2, 3), B(x, 1), AB = 2

AB = 2
AB = √((x – 2)² + (1 – 3)²) = √(x² – 4x + 4 + 4) = √(x² – 4x + 8)

√(x² – 4x + 8) = 2
x² – 4x + 8 = 4
x² – 4x + 4 = 0

a = 1
b = -4
c = 4

D = b² – 4ac = 16 – 16 = 0

x = ^-b + √D/_2a

x = ^4 + 0/₂
x = ⁴/₂
x = 2

բ) M₁(-1, x), M₂(2x, 3)

M₁M₂ = 7
M₁M₂ = √((2x + 1)² + (3 – x)²) = √(4x² + 4x + 1 + 9 – 6x + x²) = √(5x² – 2x + 10)

√(5x² – 2x + 10) = 7
5x² – 2x + 10 = 49
5x² – 2x – 39 = 0

a = 5
b = -2
c = -39

D = b² – 4ac = 4 + 780 = 784

x = ^-b + √D/_2a
x = ^2 + √784/₁₀
x = ^2 + 28/₁₀
x = ^2 + 28/₁₀ = 3
x = ^2 – 28/₁₀ = –²⁶/₁₀ = –¹³/₅

Պատ․ x ∈ {-¹³/₅, 3}

---

13.

ա) A(-3, 5), B(6, 4)

M(0, y)

AM = BM
AM = √(9 + (5 – y)²) = √(9 + 25 – 10y + y²) = √(y² – 10y + 34)
BM = √(36 + (4 – y)²) = √(36 + 16 – 8y + y²) = √(y² – 8y + 52)

√(y² – 10y + 34) = √(y² – 8x + 52)
y² – 10y + 34 = y² – 8y + 52
-2y = 18
y = -9

Պատ․ M(0, -9)

Ստուգում․

AM = √(y² – 10y + 34) = √(81 + 90 + 34) = √205
BM = √(y² – 8x + 52) = √(81 + 72 + 52) = √205

AM = BM

բ) C(4, -3), D(8, 1)

N(0, y)

CN = DN
CN = √(16 + (y + 3)²) = √(16 + y² + 6y + 9) = √(y² + 6y + 25)
DN = √(64 + (y – 1)²) = √(64 – y² – 2y + 1) = √(y² – 2y + 65)

√(y² + 6y + 25) = √(y² – 2y + 65)
y² + 6y + 25 = y² – 2y + 65
0 = 40 – 8y
40 – 8y = 0
y = 5

Պատ․ N(0, 5)

Ստուգում․

CN = √(y² + 6y + 25) = √(25 + 30 + 25) = √80
DN = √(y² – 2y + 65) = √(25 – 10 + 65) = √80

CN = DN